3.向心加速度
【学习素养·明目标】 物理观念：1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题．
科学思维：1.通过生活实例，总结向心加速度的方向，培养逻辑思维能力.2.理解向心加速度的意义，进一步理解加速度是描述速度变化快慢的物理量．
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响．
二、匀速圆周运动的加速度大小 1．向心加速度公式
v22
(1)基本公式an＝＝ωr.
r4π
(2)拓展公式an＝2·r＝ωv.
2
T2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)匀速圆周运动的加速度始终不变． (×) (2)匀速圆周运动是匀变速运动．
(×)
(3)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变．
(√)
v2
(4)根据an＝知加速度an与半径r成反比． (×)
r(5)根据an＝ωr知加速度an与半径r成正比． (×) 2．下列关于向心加速度的说法中正确的是( ) A．向心加速度的方向始终指向圆心 B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
2
1
A [向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误．]
3．关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是( ) A．在赤道上最大 B．在两极上最大 C．地球上处处相同 D．随纬度的增加而增大
A [物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由赤道向两极逐渐减小，赤道处最大，由公式a＝ωr知：自转的加速度由赤道向两极逐渐减小，因此，选项A正确，选项B、C、D错误．]
2
向心加速度的理解 [观察探究]
如图所示为游乐设施空中飞车的示意图，当飞车做匀速圆周运动时，物体受几个力？合力的方向如何？合力产生的加速度就是向心加速度吗？加速度方向一定指向圆心吗？
提示：在匀速圆周运动中，物体受两个力，重力和绳子的拉力，合力指向做圆周运动的圆心，产生的加速度就是向心加速度，加速度方向一定指向圆心．
[探究归纳]
1．向心加速度的物理意义
描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢． 2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变． 3．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
【例1】 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( ) A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
2
B．向心加速度表示角速度变化的快慢 C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢 D．匀速圆周运动的向心加速度不变
C [匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项错误．]
向心加速度的特点
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢．
(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向不断改变．
1．下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( ) A．匀速运动 B．匀加速运动
C．加速度不变的曲线运动 D．变加速曲线运动
D [匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错，D对．]
2.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零 B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]
向心加速度的公式及应用 [观察探究]
3
如图所示，两个啮合的齿轮，其中A点为小齿轮边缘上的点，B点为大齿轮边缘上的点，
C点为大齿轮中间的点．
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？ (2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
提示：(1)B、C两个点的角速度相同，由an＝ωr知向心加速度与半径成正比．
2
v2
(2)A、B两个点的线速度相同，由an＝知向心加速度与半径成反比．
r[探究归纳]
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比． (3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
(4)an与r的关系图象：如图所示，由an-r图象可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
3．向心加速度的注意要点
(1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢．
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算．包括非匀速圆周运动．但an与v具有瞬时对应性．
【例2】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，1
大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘
3上的P点的向心加速度是12 m/s时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
思路点拨：①P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ωr计算向心加速度．
2
2
v2
②P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝计算向心加速度．
r[解析] 同一轮子上的S点和P点的角速度相同， 即ωS＝ωP
4
由向心加速度公式an＝ωr，得＝
2
aSrSaPrPrS122
故aS＝aP＝×12 m/s＝4 m/s
rP3
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
v2aPrQ由向心加速度公式an＝得＝
raQrP故aQ＝aP＝2×12 m/s＝24 m/s. [答案] 4 m/s 24 m/s
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比．
3．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8
D [由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc2
2
2
rPrQ22
v2v21ac＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，
ra2r8r8vaωara1
D正确；＝＝，B错误．]
ωcvc4
rc
5
?vc??2???