第二章 圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．抛物线y＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：y＝8x的焦点到准线的距离p＝4. 答案：C
2．以抛物线y＝2px(p＞0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是( ) A．相交 C．相离 答案：B
3．过抛物线y＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1＝( )
A．90° B．45° C．30° D．60° 答案：A
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y＝8x
C．y＝8x或y＝－8x
2
2
2
2
22
2
2
B．相切
D．以上三种均有可能
B．y＝－8x
D．x＝8y或x＝－8y
22
2
2
解析：设抛物线方程为y＝2px(p>0)或y＝－2px(p>0)，由题意可得p＝4，所以其方程为y＝8x或y＝－8x.
答案：C
5．(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
13
A. B．1 C. D．2 22
2
2
2
kx解析：因为抛物线方程是y＝4x，所以F(1，0)． 又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，
把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.
x1答案：D 二、填空题
6．抛物线x＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF33为等边三角形，则p＝________．
答案：6
7．已知过抛物线y＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
解析：由y＝4x知，抛物线的焦点F(1，0)，当x＝1时，y＝±2，所以A(1，2)，B(1，－2)，此时AB⊥x轴，所以|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
8．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．
解析：设△AOB边长为a，则A?
2
2
2
2
2
kkx2y2
?3a?
a，?，
2??2
3
所以＝6×a.所以a＝123.
42答案：123 三、解答题
9．已知过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，
2
a2
y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：(1)y1y2＝－p；x1x2＝；
4(2)
1
2
p2
FAFBp12＋＝.
证明：(1)如图所示．
抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F?，0?，
?2?准线方程：x＝－. 2
设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y＝2px，
2化简，得y－2pky－p＝0. 所以y1y2＝－p，
2222
y2y2（y1y2）（－p）p12
所以x1x2＝·＝＝＝. 22
2p2p4p4p4
22
2
2
?p?
pp2
(2)根据抛物线定义知PA＝AA1＝x1＋，FB＝BB1＝x2＋，
22所以
1
ppFA＋
1
FB＝
1
x1＋
p2
＋
1
x2＋
p2
＝
222（2x2＋p）＋2（2x1＋p）
＋＝＝
2x1＋p2x2＋p（2x1＋p）（2x2＋p）
4（x1＋x2）＋4p4（x1＋x2＋p）2＝. 2＝4x1x2＋2p（x1＋x2）＋p2p（x1＋x2＋p）p10．已知P为抛物线y＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|＋|PB|的最小值．
解：如图，延长PA交准线l于A′，焦点F(1，0)，＝1.
2
2
p
|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1
当F，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为F到x－y＋4＝0的距离减去1. 此时d＝
|1－0＋4|52
＝，
22
52
－1. 2
所以|PA|＋|PB|的最小值为