二、中档题专练
(一)
1．[2016·长春监测]已知函数f(x)＝2sinxcosx＋23cosx－3. (1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；
2
?Aπ?(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f?－??26?
133
＝3，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．
14
π??2
解 (1)f(x)＝2sinxcosx＋23cosx－3＝sin2x＋3cos2x＝2sin?2x＋?，
3??2π
因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2
f(x)的单调递减区间为2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋
π7π??即x∈?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 1212??
π
2π33π
(k∈Z)， 2
π??Aπ?π??Aπ?(2)由f?－?＝2sin?2?－?＋?＝2sinA＝3，又A为锐角，所以A＝. 3?26???26?3?
a714
由正弦定理可得2R＝＝＝，
sinA33
2
sinB＋sinC＝
b＋c133
＝， 2R14
2
2
2
2
2
13314b＋c－a?b＋c?－2bc－a1
则b＋c＝×＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，142bc2bc23可求得bc＝40，
1
故S△ABC＝bcsinA＝103.
2
1
2．[2016·开封一模]如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB2＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
1
(1)求证：AD⊥平面BCD； (2)求三棱锥C－ABD的高．
解 (1)证明：∵平面ADC⊥平面ABC，且AC⊥BC， ∴BC⊥平面ACD，即AD⊥BC，又AD⊥CD， ∴AD⊥平面BCD. (2)由(1)得AD⊥BD，
11
∴S△ADB＝23，∵三棱锥B－ACD的高BC＝22，S△ACD＝2，∴×23h＝×2×22，
3326
∴可解得h＝. 3
3．[2016·河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．
2
8
解 (1)由题意可知，样本容量n＝＝50，
0.016×10
y＝
2
＝0.004， 50×10
x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.
抽取2株的所有情况有21种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，
a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．
其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，
a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．
1011
∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P＝1－＝. 2121
(二)
1．[2016·云南统检]设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n,3an－2Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：Sn＋2Sn 解 (1)∵对任意正整数n,3an－2Sn＝2，∴3an＋1－2Sn＋1＝2， ∴3an＋1－3an－2Sn＋1＋2Sn＝0，即3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0， ∴3an＋1－3an－2an＋1＝0，解得an＋1＝3an. 当n＝1时，3a1－2S1＝2，即a1＝2， ∴an＝2×3 n－1 2 . n－1n∴数列{an}的通项公式为an＝2×3. 2×?1－3?n(2)证明：由(1)可得Sn＝＝3－1， 1－3∴Sn＋1＝3 n＋12 －1，Sn＋2＝3 nn＋2 －1， ∴Sn＋2Sn－Sn＋1＝－4×3<0， ∴Sn＋2Sn 2．[2016·山西联考]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1： 年份x 储蓄存款y(千亿元) 下表2： 时间代号t 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 2011 5 2012 6 2013 7 2014 8 2015 10 2 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2010，z＝y－5得到z (1)求z关于t的线性回归方程； 3