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Y(z)z?1zH(z)????X(z)1?z?1?z?2z2?z?1?z(z?1.618)(z?0.618)z(z?1?51?5)(z?) 22收敛域为：z?1.618
2）由Z反变换，对H（z）方程两边同除z，有：
H(z)AB ，容易求出A=；B= ??zz?1.618z?0.618zz从而可得：H(z)?0.4472(?)，由Z反变换得：
z?1.618z?0.618h(n)?0.4472[(1.618)nu(n)?(?0.618)nu(n)]
3）由线性时不变系统稳定性的充要条件
n????h(n)??知，系统为不稳定系
?统。 3．设一个N点序列x(n)的DFT为X(k)，试证明x*((-n))NRN(n)的DFT为X*(k)。 证：?x(?n)W?n?0N?1nkN??x(m)W?m?0N?1?mkNmk??[?x(m)WN]?X?(k) m?0N?14．一欲作频谱分析的模拟信号以10kHz的速率被取样，且计算了1024个取样
的DFT，试完成： (1) 说明该DFT的物理意义；
(2)求出该DFT两频率样点之间的频率间隔。 解：（1）DFT是一个有限长离散信号的信号谱的频域等间隔取样。
f10000（2）F?s??10Hz
N10245．求序列x(n)=- anu(-n-1)(|a|<1)的Z变换和收敛域。 解：
X(z)?n?????azn?1?n?1??(a?1z)n?1?n?0?11?
1?a?1z1?az?1收敛域：?a?1z?1 ?z?a
6．设有一16点序列x(0),x(1),x(2),?,x(15)，用Couley—Tukey算法做基2FFT运算时需对输入序列进行“码位倒置”，试写出倒序方法和倒序后的序列顺序。 解：按照“码位倒置”方法，容易求得扰乱后的序列顺序为：
x(0)，x(8)，x(4)，x(12)，x(2)，x(10)，x(6)，x(14)，x(1)，x(9)，x(5)，x(13)，x(3)，x(11)，x(7)，x(15)
7．设h(n)是某线性时不变系统的单位脉冲响应，试证明对任意输入x(n)，其输
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出y(n)为：
解：∵T[?(n)]?h(n) ∴由时不变特性，有：T[?(n?k)]?h(n?k) 而又因为对任意序列，有： x(n)? 由线性性，有：
y(n)?T[x(n)]?T[?x(k)?(n?k)]?k????k????x(k)?(n?k)
?k????T[x(k)?(n?k)]
??k????x(k)h(n?k)?x(n)?h(n)?
8．试证明：若x(n)是实偶对称的，即x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)也是实偶对称的。
解：因为：DFT[x(n)]??x(n)en?0N?1?nk?j2N??x(n)[cosn?0N?12?2?nk?jsinnk] NNk=0，1，…，N-1
2?由于x（n）是关于N的实偶序列，而sinnk是关于N的奇序列，所以有：
N?x(n)sinn?0N?12?nk?0 NN?1n?0亦即：DFT[x(n)]??x(n)cos又有：
2?nk为实序列； NN?12?2?2?X(N?k)??x(n)cosn(N?k)??x(n)[cos2?ncosk?sin2?nsink]NNNn?0n?0 N?12???x(n)cosnk?X(k)Nn?0N?1
9．设N点实序列x（n）=-x（N-n），X（k）=DFT[x（n）]，试证明X（k）是纯虚序列，而且满足X（k）=-X（N-k）。 解：因为：DFT[x(n)]??x(n)en?0N?1?nk?j2N??x(n)[cosn?0N?12?2?nk?jsinnk] NNk=0，1，…，N-1
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由于x（n）是关于N的奇序列，而cos2?nk是关于N的偶序列，所以有：N?x(n)cosn?0N?1n?0N?12?nk?0， N2?nk为纯虚序列； N亦即：DFT[x(n)]??j?x(n)sinX(N?k)??x(n)WN?1n?0n(N?k)N??x(n)Wn?0N?1n?0N?1?nkNWnNN?nk??x(n)WNn?0N?1又有：
nk?nk? ?[?x?(n)WN]?[?x(n)WN]?X?(k)n?0N?1
所以：X(k)?X(N?k)?j?x(n)sin?n?0N?12?n(N?k)??X(N?k) N10．设x（n）是有限长复序列，X（k）是它的DFT。 试证明DFT[x?（n）]=X?（-k）和DFT[x?（-n）]= X?（k）。 解：1）DFT[x(n)]??x(n)W??n?0N?1nkN?nk??[?x(n)WN]?X?(?k) n?0N?1DFT[x(?n)]??x(?n)W??N?1n?0nkN?nk??[?x(?n)WN]n?0N?1 2）
?[?(N?1)m?0
?x(m)Wmk?N]?X?(k)11．研究一个复序列x(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z变换X(z)在单位圆的下半部分为零，即当????2?时，
X(ej?)?0。x(n)的实部为：
?1n?0?2 , ??1 xr(n)??? , n??2
?4其它?0 , ??试求X(ej?)的实部和虚部。
1解：因为xr(n)?[x(n)?x?(n)]
2所以有：
1Xr(ej?)?[X(ej?)?X?(e?j?)]
2由题设当????2?时， X(ej?)?0，从而有：
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?2Xr(ej?) 0???? X(e)?? ????2??0 j?111而已知：xr(n)??(n)??(n?2)??(n?2)
244111所以：Xr(ej?)??(ej2??e?j2?)?(1?cos2?)
242由此可得：Im[X(ej?)]?0
0?????1?cos2? Re[X(ej?)]??
????2??0 一、思考题
1．IIR系统级联型结构的一个主要优点是 。 A.实现简单 B.所需器件最省 C.降低有限字长效应的影响 D.无误差积累 2．全通网络是指 。
A. 对任意时间信号都能通过的系统 B. 对任意相位的信号都能通过的系统
C. 对信号的任意频率分量具有相同的幅度衰减的系统 D. 任意信号通过后都不失真的系统 3．利用模拟滤波器设计法设计IIR数字滤波器的方法是先设计满足相应指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，即它使 。
A. 模拟滤波器的频谱与数字滤波器频谱相同 B. 模拟滤波器结构与数字滤波器相似
C. 模拟滤波器的频率成分与数字滤波器频率成分成正比
D. 模拟滤波器的冲激响应与数字滤波器的脉冲响应在采样点处相等
4．双线性变换法的最重要优点是： ；主要缺点是 。
A. 无频率混叠现象；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 B. 无频率混叠现象；二次转换造成较大幅度失真
C. 无频率失真；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 D. 无频率失真；二次转换造成较大幅度失真
5．IIR滤波器必须采用 型结构，而且其系统函数H（z）的极点位置必须在 。
A. 递归；单位圆外 B. 非递归；单位圆外 C. 非递归；单位圆内 D. 递归；单位圆内
6．在通信领域中，若对相位要求不敏感的场合，如语音通信等，选用 滤波器较为合适。
型 B. IIR型 C.递归型 D.非递归型
7．IIR系统并联型结构与级联型结构相比较，最主要的优点是 。 A. 调整零点方便 B. 结构简单，容易实现 C. 无有限字长效应 D. 无误差积累
8．在数字信号处理中，FIR系统的最主要特点是： 。 99
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A. 实现结构简单 B. 容易实现线性相位
C. 运算量小 D. 容易实现复杂的频率特性 9．利用模拟滤波器设计法设计IIR数字滤波器的方法是先设计满足相应指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。双线性变换法是一种二次变换方法，即它 。
A. 通过付氏变换和Z变换二次变换实现 B. 通过指标变换和频谱变换二次变换实现
C. 通过二次变换，使得变换后S平面与Z平面间为一种单值映射关系 D. 通过模拟频率变换和数字频率变换二次变换实现
10．由于脉冲响应不变法可能产生 ；因此脉冲响应不变法不适合用于设计 。
A. 频率混叠现象；高通、带阻滤波器 B. 频率混叠现象；低通、带通滤波器 C. 时域不稳定现象；高通、带阻滤波器 D. 时域不稳定现象；低通、带通滤波器
11．一个线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应为奇对称、长度为奇数点，则该滤波器适宜作： 。
A. 低通 B. 高通 C. 带通 D. 带阻
12．FIR滤波器主要采用 型结构，其系统函数H（z）不存在 。
A.非递归；因果性问题 B.递归；因果性问题 C. 非递归；稳定性问题 D. 递归；稳定性问题
13．在通信领域中，若对相位要求高的场合，如图象通信、数据通信等，最好选用 滤波器。
型 B. IIR型 C.递归型 D.全通型
14．一个线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应为偶对称、长度为偶数点，则该滤波器适宜作： 。
A．低通 B. 高通 C. 点阻 D. 带阻
15．一个线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应为奇对称、长度为偶数点，则该滤波器适宜作： 。
A．低通 B. 高通 C. 点阻 D. 带阻 16．在数字信号处理中通常定义的数字频率ω是归一化频率，归一化因子为 。
A．采样周期 B. 模拟采样角频率 C. 模拟采样频率 D. 任意频率
17．信号数字频谱与模拟频谱间的一个显著区别在于数字频谱具有 。
A．周期性 B. 更大的精确度 C. 更好的稳定性 D. 更高的分辨率
18．数字信号处理存在有限字长效应，适当增加信号描述字长将 。
A．增大其影响 B. 消除其影响 C. 减小其影响 D. 对其无影响 二、概念填空题
1．利用付氏级数法设计FIR数字滤波器时，首先由已给出的Hd(ej?)用付氏级数展开的
方法求出hd（n）（理想的单位脉冲响应），然后用RN（n）（N点矩形窗或N点矩形序列）截取该序列就得到设计滤波器的h（n）（单位脉冲响应）序列。由于截取就会产生误差，这1010