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2）由Z反变换，对H（z）方程两边同除z，有：
H(z)AB?? zz?1.618z?0.618容易求出A=；B=。从而可得：
zzH(z)?0.4472(?)
z?1.618z?0.618由Z反变换得：
h(n)?0.4472[(1.618)nu(n)?(?0.618)nu(n)]3）由线性
时不变系统稳定性的充要条件
n????h(n)??知，系统为不稳定系统。
?
5．关于滤波器结构试完成以下工作：
1） 数字滤波器的差分方程为：
31y(n?1)?y(n?2)48
1 ?x(n)?x(n?1)3y(n)?图P-1
试按下列形式画出该滤波器的结构流图：
(1)直接型 (2)正准型 (3)级联型 (4)并联型
级联型和并联型流图中只允许使用一阶节实现。
2）求出图P-1所示结构的差分方程和系统函数。 解：1）对差分方程两边求Z变换有：
3?11?21?1(1?z?z)Y(z)?(1?z)X(z)
483 从而系统的系统函数为：
?11?1zY(z)3H(z)???1?21X(z)1?3z?z48?11?1z3??1(1?1z)(1?412z?1)
??71?143?3?1?1z1?1z210由此可画出系统的直接型、正准型、级联型和并联型如图A－6、图A－7、图A－8和图A
－9所示。
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y(n) z－1 1/3 -1/8 A-6 y(n) z－1 1/4 A-8 2）设在图P-1上面右边节点为y1(n)，则有：
y(n) 3/4 -1/8 z－1 1/3 z－1 A-7 -7/3 z 1/4 z－1 1/2 10/3 －13/4 z－1 z－1 y(n) z－1 1/3 1/2 A-9 y1(n)?x(n)?rsin?y(n?1)?rcos?y1(n?1)对上式两端求Z变换，有：
Y1(z)(1?rz?1cos?)?X(z)?rz?1sin?Y(z)
X(z)?rz?1sin?Y(z)Y1(z)?
1?rz?1cos?y(n)?rsin?y1(n?1)?rcos?y(n?1)
对上式两端求Z变换，并做整理后有：
(1?rz?1cos?)Y(z)?rsin?z?1Y1(z)?1X(z)?rzsin?Y(z)?1?rsin?z1?rz?1cos?
从而有：
(1?rz?1cos?)2Y(z)?rsin?z?1X(z)?r2z?2sin2?Y(z)
(1?2rz?1cos??r2z?2)Y(z)?rz?1sin?X(z)
从而可得，系统函数为：
rz?1sin?H(z)?1?2rz?1cos??r2z?2进而可得系统的差分方程为：
y(n)?2rcos?y(n?1)?r2y(n?2)?rsin?x(n?1)
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6．用信号流图画出以下系统函数所对应的直接型和正准型结构：
3z3?2z2?2z?51）H(z)?0.83 2z?4z?3z?2?z?22）H(z)?8z2?2z?3
解：1）先将系统函数改写成：
2.4?1.6z?1?1.6z?2?4z?3H(z)?
1?4z?1?3z?2?2z?3从而可以容易地画出直接型和正准型结构如图A－10和A－11所示。
z-1 z-1 z-1 -4 4 A－10
-3 -2 y(n) z-1 z-1 z-1 -4 -3 -2 z-1 z-1 z-1 A－11 ?2 y(n) 4 1?1?8z?1z?z?1?2z?24H(z)???1?2?13?28?2z?3z1?1z?z48从而可以容易地画出直接型和正准型结构如图A－12和A－13所示。
z-1 z-1 1/4 A－12
－1/8 1/4 3/8 z-1 z-1 y(n) -11/4 z -13/8 z －1/8 1/4 y(n) A－13
7．试用双线性变换法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，其技术指标为：
2） 在ω≤π的通带内，衰减小于等于3dB；
3） 在π≤ω≤π的阻带范围内，衰减大于等于15dB。
0.1a?slgk10?1??N??k?0.1a注：设T=1，给出?p；lg?10?1 ；
ps；
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归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数： N=2
1Ha(s)?2
s?1.414s?1N=3
1Ha(s)?2(s?s?1)(s?1)
解：1）将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标
2?p0.5??p?tg?2tg?2rad/s
T222?s0.75??s?tg?2tg?4.828rad/s
T222）计算模拟滤波器阶数N
?s4.828????2.414
?p210p?1k??0.1803 0.1as10?10.1algklg0.1803N?????1.9412 取N=2
lg?lg2.414 3）由给出的归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数可得所设计的模拟滤波器
传递函数为：
1Ha(s)?2
s?1.414s?1 4）用双线性变换法求出数字低通滤波器系统函数为：
H(z)?Ha(s)s?21?z?1?11?z?11?z?121?z?1(2)?1.414(2)?1?1?1 1?z1?z1?2z?1?z?2?7.828?6z?1?2.172z?21919
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8．用双线性变换设计一个巴特沃思数字低通滤波器，要求： 1） 在频率小于等于的通带内，衰减小于等于3dB；
2） 在频率大于等于50Hz的阻带内，衰减大于等于40dB； 3） 采样频率fs=200Hz。
0.1aplgk10?1?sN??注：设T=1，给出??；k? ；
lg?100.1as?1?p；
归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数： N=2
1Ha(s)?2
s?1.414s?1N=3
1Ha(s)?2(s?s?1)(s?1)
解：1）将滤波器指标转换到数字域
?Ts?2?? ?p?2?fp2.5?0.07854rad 20050?s?2?fs?Ts?2???1.5708rad
200 2）将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标
?p?2?p0.07854tg?2tg?0.07858rad/s T222?s1.5708?s?tg?2tg?2rad/s
T223）计算模拟滤波器阶数N
?s2????25.4518
?p0.0785810?1k??0.01
0.1as10?1lgklg0.01N?????1.4228lg?lg25.45182020
取N=2
0.1ap