第1讲 函数及其表示
基础知识整合
1．函数与映射的概念
2．函数的三要素
07对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中 函数由定义域、□08自变量x的取值构成的集合； (1)定义域：□09{f(x)|x∈A}． (2)值域：函数值的集合□3．函数的表示法
10解析法、□11列表法、□12图象法． 表示函数的常用方法有：□
1
4．分段函数
13对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，若函数在定义域的不同子集上，因□这种函数称为分段函数．
1．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( ) 1
A．f：x→y＝x
22
C．f：x→y＝x
3
1
B．f：x→y＝x
3D．f：x→y＝x
2
答案 C
解析 依据函数的概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故选项C不符合．
2．(2019·怀柔月考)已知函数f(x)＝5，g(x)＝ax－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．－1 答案 A
解析 因为g(x)＝ax－x，所以g(1)＝a－1.因为f(x)＝5，所以f[g(1)]＝f(a－1)＝5
|a－1|
2
|x|
|x|
2
＝1，所以|a－1|＝0，所以a＝1.故选A.
??2x，x>0，
3．已知f(x)＝?
?fx＋1，x≤0，?
?4??4?则f??＋f?－?的值等于( )
?3??3?
A．－2 B．4 C．2 D．－4 答案 B
48?4??1??2?24?4??4??4?解析 由题意得f??＝2×＝.f?－?＝f?－?＝f??＝2×＝.所以f??＋f?－?＝33?3??3??3?33?3??3??3?4.
4．(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)
解析 由log2x－1≥0得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．
x??＋1，x≤0，
5．(2019·南京模拟)已知函数f(x)＝?2
??－x－12，x>0，
的解集是________．
答案 {x|－4≤x≤2}
则不等式 f(x)≥－1
解析 当x≤0时，由题意得＋1≥－1，解得－4≤x≤0.当x>0时，由题意得－(x－1)≥
2－1，解得0 6．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________． 答案 [－1,2] 解析 ∵y＝f(x－1)的定义域为[－3，3]， ∴x∈[－3，3]，x－1∈[－1,2]， ∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]． 核心考向突破 2 2 2 x2 3 考向一 函数的定义域 角度1 求具体函数的定义域 例1 (1)函数f(x)＝(x－2)＋ 0 2 的定义域是( ) 3x＋1 1??B.?－∞，－? 3?? ?1?A.?－，＋∞? ?3? C．(－∞，＋∞) 答案 D ?1?D.?－，2?∪(2，＋∞) ?3? ??x≠2， 解析 要使函数f(x)有意义，只需? ?3x＋1>0，? 1 所以x>－且x≠2，所以函数f(x) 3 ?1?的定义域是?－，2?∪(2，＋∞)，故选D. ?3? －x－x＋2 (2)(2019·广东深圳模拟)函数y＝的定义域为( ) ln xA．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1] 答案 C －x－x＋2≥0，?? 解析 由题意得?x>0， ??ln x≠0，触类旁通 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式组，得出不等式组的解集即可. 2x＋1 即时训练 1.(2019·厦门模拟)函数f(x)＝2的定义域是( ) 2x－x－1 ???1A.?x?x≠－ 2??? 2 2 解得0 ?? ? ?? 4 ???1B.?x?x>－ 2??? ?? ? ?? ???1 C.?x?x≠－且x≠1 2??????1 D.?x?x>－且x≠1 2??? 2 ??? ?? ??? ?? 答案 D 解析 由题意得? ?2x＋1≥0，? ??2x－x－1≠0， 1 解得x>－且x≠1.故选D. 2 1 2x2．(2019·郑州调研)函数f(x)＝ln ＋x 的定义域为( ) x－1A．(0，＋∞) C．(0,1) 答案 B B．(1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞) x??>0， 解析 要使函数f(x)有意义，应满足?x－1 ??x≥0，x的定义域为(1，＋∞)．故选B. 角度2 求抽象函数的定义域 1 2 解得x>1，故函数f(x)＝ln xx－1 ＋ 例2 (1)(2019·福州模拟)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f??＋ ?2? ?x? f(x－1)的定义域为( ) A．(－2,0) C．(0,2) 答案 C B．(－2,2) ?1?D.?－，0? ?2? x??－1<<1，2解析 由题意得???－1 ??－2 ∴? ?0 ∴0 ?2?(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝________． 答案 {x|0≤x≤2018，且x≠1} 解析 因为y＝f(x)的定义域为[1,2019]，所以要使g(x)有意义，应满足 ?x? fx＋1x－1 的定义域是 5