1 第三章轴向拉压变形§3—1 轴向拉压杆的变形§3—2 桁架的节点位移§3—3 拉压与剪切应变能§3—4 简单拉压超静定拉压变形小结上海工程技术大学基础教学学院工程力学部12
§3—1 轴向拉压杆的变形一、概念1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。3
三、叠加原理①当各段的轴力为常量时——FNiLiEAi几个载荷同时作用所产生的变形，等于各载荷单独作用时产生的变形的总和—叠加原理?L??L1??L2??L3????小结：?变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。线应变——微小线段单位长度的变形。②当轴力为x的函数时N=N(x)——?L?d?L1?d?L2?d?L3?????LFN(x)dxEA（3）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。应力与应变的关系：（虎克定律的另一种表达方式）?FN?L?FL?E?L?NALEA??E?56
2 xF例：已知杆件的E、A、F、a 。求：△LAC、δB（B 截面位移）εAB （AB 段的线应变）。解：1、画FN图：FN2、计算：FAaBaC2F3F§3—2 桁架节点位移三角桁架节点位移的几何求法。1、研究节点C 的受力，确定怎样画小变形放大图？分析：各杆的内力FNi；2、求各杆的变形量△Li；BAL1L23、变形图严格画法，图中弧线；FL?Fa?3Fa?4Fa(1).?L??N??LAC??LAB??LBC???EAEAEAEAF1CF2C?L1(1) 以A为圆心，AC1为半径画弧线；(2) 以B为圆心，BC2为半径画弧线；C1?3Fa(2).?B??LBC?EA?Fa?L(3).?ABF?L2C2FC''?ABLAB?EA??FaEA7交点C’就是C点实际位移。4、变形图近似画法:以切线代替图中弧线。C''就是C点近似位移。8C'
写出图2 中B 点位移与两杆变形间的关系AL1B例：杆1为钢管，A1= 100 mm2，E1 = 200GPa,L1= 1 m ;杆2为硬铝管，A2= 250 mm2，E2 = 70GPa,P = 10 kN。试求：节点A 点的垂直位移。N1B?l1?l2?L2B1分析：一、受力分析：二、画B点的变形图：1）画沿原杆伸长或缩短线；解：1)求各杆内力APN1?2P?14.14kN,N2??P??10kNFvB?BB22）作伸长或缩短线端点垂线；B’交点就是节点B的位移点。N2l1A245?l2PAC图23)B点水平位移：uB?BB1??L1B'B点垂直位移：?L2vB??L1ctg??sin?Nl?l1?11?0.707,E1A12)求各杆的伸长i?l2??lN2l2??0.404mmE2A2B2拉C3)画A点的位移图?l1A1AA5?AA4?A4A5S1BFAA4??l1/cos45A4A5??l2ctg45?0.9999?0.404AA5??l1???l2ctg45cos45?AA5?1.404mm10S压2?B?2uB2?vBA3945A4A5
例：设横梁ABCD 为刚梁，斜杆A=440mm2，E = 70kN，P1= 5kN, P1A§3—3 拉压应变能一、应变能概念W1、外力功：固体受外力作用而变形，在变形过程中外力所做的功。1PW?P??l2V?2、应变能：?ll固体在外力作用下，P因变形而储存的能量。211Nl?NlPiV??N??l?N?22EA2EAoW?V?3、能量守恒：?li?l4、应变能密度：单位体积内储存的能量。d(?l)v??V?/V12??30(不计横梁变形)P2=10kN,L=1m;试求：A 点的垂直位移。l?AYP2C60lB解：1)、CD杆内力：研究对象ABA1P1AAC1?D?mB?0:P2l?(P?Nsin30)l?012C?NC?40(kN)2) CD杆的变形：?L?P2CCYBNCC2BBXB3)杆A.C点的变形图：NClNClCD??1.5(mm)EAEAcos?CC2??lCC2?l?CY?CC1??cos?sin??ABA1??AY?AA1?CC1?2?CY?AY?2?CY?CYC1?2?l?6(mm)sin?11
3 2应变能密度：v?V/V应变能：V?Nl,???EAV?A?l体积：?dxdzv??N21?21V?N2l1????????V2EAAl2A2E2E21?2?v?????22E二、求结构节点位移的能量法：例：杆1为钢管，A1= 100 mm2，E1 = 200GPa,L1= 1 m ;杆2为硬铝管，A2= 250 mm2，E2 = 70GPa,P = 10 kN。试求：节点A 点的垂直位移。N1解：1)求各杆内力dyB45N2l1A2?AYAPAN1?2P?14.14kN,N2??P??10kN?i2)求外力功及各杆的变形能V5、剪切应变能密度：?v???'dx?单元体：dV?dxdydzCW?1N2lN2lP?AY,V?1?11,V?2?2222E1A12E2A2?22G??'?dzdyA1A3PP3)能量守恒W?V?1?V?2G：剪切弹性模量?AY?2(V?1?V?1)?1.404mmP1413
例：各杆截面A，材料E相同。试求：节点A 点的垂直位移。B例：设横梁ABCD 为刚梁，斜杆A=440mm2，E = 70GP，P1= 5kN, P1A解：1)求各杆内力12lN1P2=10kN,L=1m;试求：A 点的垂直位移。??30(不计横梁变形)45N1?2P,N2?N3??P3CV?i2)求外力功及各杆的变形能Al?AYP2C60lB解：1)、CD杆内力：研究对象ABW??AYAPP?N2lN2l1P?AY,V?1?11,V?2?V?3?222E2A22E1A12W?V?1?V?2?V?3A1P1AC1?D?mB?0:P2l?(P?Nsin30)l?012C?NC?40(kN)2) 求外力功与杆的变形能：W?W1?WV2,?,3)能量守恒N21N2lN2lP?AY?11?22222E1A12E2A2(2P)22l(?P)2l1P?AY??222EA2EAP2CCYBNCBXBW1?ABXBBN3N1?AYA115??AY?2Pl(2?1)EA?CYC13) 能量守恒：?AY?N2lCD11,P1?Ay,W2?P2?Cy,V??2EA22?Ay?Ay?2?CyPW?(P1?2),22W?V?N2l?6(mm)2?2?CDCD(2P1?P2)2EA16
§3 -4 拉压超静定一、概念1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，等于只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数，只利用静力方程不能求出所有的未知力。N1N2AP5、超静定的次数（按超静定次数划分)：BD3??A2C1超静定次数= 多余约束个数= 未知力个数-有效静力方程个数。二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定）P步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。2、根据变形协调条件列出变形几何方程。3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。?L?FNLEA?X?0,?Y?0.N1PN3N2AB1D3??2C3、多余约束：在超静定系统中多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。4、多余约束反力：多余约束对应的反力。AP4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。三、注意的问题拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。1718
4 l1?l2,E1A1?E2A2,E3A3，求：各杆的内力。例：解：?、平衡方程:B1D3??2C例木制短柱的四角用四个40*40*4 的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[?]1=160 MPa和[?]2=12 MPa，弹性模量分别为E1=200 GPa和E2=10 GPa；求许可载荷F.FFN2?X?0?Fsin??Fsin??0?Y?0?Fcos??Fcos??F?F?0N1N1N2N3解：?、平衡方程:?Y?0?4FN1?FN2?F?0?l2?l3A2yAPA3A1?、物理方程－变形与受力关系FlFl?l1?N11,?l3?N33E3A3E1A1?、联立求解:FN1L1FL?N33cos?E1A1E3A3250?l1?、几何方程——变形协调方程：?l1??l2??L3cos?FN21m4FN1?、几何方程：?L1??L2?、力的补充方程：?L?FNLEA250?FN1?0.07F ; FN2?0.72F20FN1L1FL?N22E1A1E2A2 FN1AFN3FN2?? xFN1?FN2?PE3A3FE1A1Fcos2? ; FN3?32E1A1cos??E3A32E1A1cos3??E3A319
?、求结构的许可载荷：例:图示结构,已知：L、A、E、a、F 。求：各杆轴力。解：1、平衡方程:L3AFa2a1B?max?FNmax????AFNmax?A???3FN1max?A1??FN2max?A2???1?2,角钢面积由型钢表查得:A 1=3.086 c㎡?Y?0,F?M?0,AN1?FN2?FN3?F?0FN2a?FN12a?0FN1max?3.1?16?10?49.4(kN)22、几何方程：,FN2max?250?12?750(kN)2?l2??l1??l33、物理方程：FlFlFl?l1?N1,?l2?N2,?l3?N3,EAEAEA4、联立平衡方程和补充方程得:2FN2?FN1?FN3F1max?A1???1/0.07?705.4(kN)F2max?A2???2/0.72?1042(kN)FN3AF?l3FN2CFN1B?l2C1B1?l1?［F］=705.4 kNmax21A1115FN1??F;FN2?F;FN3?F.63622
l1?l2?l例：各杆EA相等， 。求：各杆的轴力。解：1、平衡方程:l2l1?l3三、温度应力、装配应力1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。温度引起的变形量 —1l345AA2?l1?X?0,Nsin45?N?0?Y?0,N?Ncos45?F?0323?L???tLA12、几何方程——变形协调方程：?l2?l3??l1tg?cos?Nili3、物理方程：?li?EA?l2?1、静定问题无温度应力。2、超静定问题存在温度应力。例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,杆的上下两段的面积分别为??=?c㎡、??=??c㎡，当温度升至T2 =25℃时,求各段的温度应力。E=200GPa??12.5?10?61?CyFA3A5A3N3N1FAF(1?22)F3FN1?,N2?,N3?2(1?2)2(1?2)2(1?2)23aN245N3l3N2l2Nl??11tg?EAEAcos?EAa24
5 ?lT杆随温度升高自由伸长分析：?、解除约束；?lN?、两端加约束力：将杆压回到原长。a例已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当1杆??T时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数 温度升高 a解：?、平衡方程:yN1N1?lN?Y?0,N2?N1?01?、几何方程：?l??lT??lN?03a分析：1杆解除约束，使其自由伸长；2B'?l2AB 横梁的约束，杆伸长受限；解：?、平衡方程:a?、物理方程：?lT?2a?T? ;?lN?N1aN2a?EA1EA2?lTA?TA'A''N1ACB?l1N2?Mc?0,N1a?N23a?0?、联立求解：N1aN2a2?T???EA1EA2N1?N2?33.3(kN) ?、温度应力：NN?1?1?66.7(MPa),?2?2?33.3(MPa)A2A125CRCB?、几何方程：AA'?BB'a3a?、物理方程：NlBB'??l2?2,AA'??T??l1EAN1?3EA?l?T9EA?l?T6EA?l?T,RC?,N2?,1010526N2
2）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应力。1、静定问题无装配应力2、超静定问题存在装配应力。B1D
B12CCA'A3??2?A27 B1D3?Cl3；l1?l2?l、例：已知：各杆长为：A1=A2=A、A3；E1=E2=E、E3。3杆的尺寸误差为?，求:各杆的装配内力。解：?、平衡方程:?X?0N1sin??N2sin??0?2?
A'N1N3A'AN2?Y?0N3?N1cos??N2cos??0A3?、几何方程：(???l3)cos???l1?l3A2?A'?、物理方程：?l1?N1L1,E1A1?l3?N3L3E3A3A1?l1A?l228