专题九 导数及其应用
1.（15北京理科）已知函数f?x??ln
1?x． 1?x（Ⅰ）求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程； ?x3?1?时，f?x??2?x??； （Ⅱ）求证：当x??0，3???x3?1?恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得f?x??k?x??对x??0，3??【答案】（Ⅰ）2x?y?0，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k的最大值为2.
试题解析：（Ⅰ）
f(x)?ln1?x2,x?(?1,1),f?(x)?,f?(0)?2,f(0)?0，曲线21?x1?xy?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程为2x?y?0；
x?x3?1?时，f?x??2?x??，即不等式f(x)?2(x?)?0，对（Ⅱ）当x??0，33???x?(0,1)成立，设
31?xx3x3F(x)?ln?2(x?)?ln(1?x)?ln(1?x)?2(x?)，则
1?x332x41?时，F?F?(x)?(x)?0，故F(x)在（0，1）上为增函数，则，当x??0，21?xF(x)?F(0)?0，因此对?x?(0,1)，
f(x)?2(x?x33)成立；
?x3?1?，等价于（Ⅲ）使f?x??k?x??成立，x??0，3??1?xx31?； F(x)?ln?k(x?)?0，x??0，1?x32kx4?2?k2F?(x)??k(1?x)?， 221?x1?x(x)?0，函数在（0，1）上位增函数，F(x)?F(0)?0，当k?[0,2]时，F?符合题意；
(x)?0,x04?当k?2时，令F?k?2?(0,1)， kx F?(x) (0,x0) - x0 0 极小值 (x0,1) + F(x) F(x)?F(0)，显然不成立，
综上所述可知：k的最大值为2.
考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.
x2?klnx，k?0． 2.（15北京文科）设函数f?x??2（Ⅰ）求f?x?的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若f?x?存在零点，则f?x?在区间1,e?上仅有一个零点．
??【答案】（1）单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是(k,??)；极小值
f(k)?k(1?lnk)；（2）证明详见解析. 2
所以，f(x)的单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是(k,??)；
f(x)在x?k处取得极小值f(k)?k(1?lnk). 2k(1?lnk). 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0,??)上的最小值为f(k)?因为f(x)存在零点，所以
k(1?lnk)?0，从而k?e. 2当k?e时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(e)?0， 所以x?e是f(x)在区间(1,e]上的唯一零点.