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高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数
（一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
??4、 利用坐标做向量的运算：设a?(ax,ay,az)，b?(bx,by,bz)，
???则 a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz), ?a?(?ax,?ay,?az)；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 2） 3）
向量的模：
?r?x2?y2?z2；
两点间的距离公式：
AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角?,?,?
xyz?, cos???, cos???4） 方向余弦：cos??rrr
cos2??cos2??cos2??1
?????5） 投影：Prjua?acos?，其中?为向量a与u的夹角。
（二） 数量积，向量积
1、
????bcos?数量积：a?b?a
???21）a?a?a
????2）a?b?a?b?0
.
.
??a?b?axbx?ayby?azbz
???2、 向量积：c?a?b
?????bsin?，方向：a,b,c符合右手规则 大小：a???1）a?a?0
?????2）a//b?a?b?0
???ijk??a?b?axayaz
bxbybz????运算律：反交换律 b?a??a?b
（三） 曲面及其方程 1、 2、
曲面方程的概念：
S:f(x,y,z)?0
旋转曲面：（旋转后方程如何写）
yoz面上曲线C:f(y,z)?0，
22yf(y,?x?z)?0 绕轴旋转一周：
绕
z轴旋转一周：
f(?x2?y2,z)?0
3、 柱面：（特点）
??F(x,y)?0F(x,y)?0表示母线平行于z轴，准线为?的柱面
??z?04、
二次曲面（会画简图）
.
.
1）
xy2??z椭圆锥面： a2b2x2y2z2?2?2?1 2椭球面：abc222）
x2y2z2?2?2?1 2旋转椭球面：aac3）
x2y2z2?2?2?1 2*单叶双曲面：abcx2y2z2?2?2?1 2*双叶双曲面：abc4）
5）
xy?2?z 2椭圆抛物面：ab226）
x2y2?2?z 2*双曲抛物面（马鞍面）：abx2y2?2?1 2椭圆柱面：abxy?2?1 2双曲柱面：ab2?ay 抛物柱面：x227）
8）
9）
（四） 空间曲线及其方程
1、
.
??F(x,y,z)?0一般方程：?
??G(x,y,z)?0.
2、
?x?x(t)?x?acost????y?y(t)参数方程：?，如螺旋线：?y?asint?????z?z(t)?z?bt空间曲线在坐标面上的投影
3、
??F(x,y,z)?0?，消去z??G(x,y,z)?0
（五） 平面及其方程（法向量） 1、
点法式方程：
??H(x,y)?0，得到曲线在面xoy上的投影?
??z?0A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
? 法向量：n?(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)
2、
一般式方程：
Ax?By?Cz?D?0（某个系数为零时的特点）
xyz???1
截距式方程：
abc3、
??n?(A,B,C)n两平面的夹角：1111，2?(A2,B2,C2)，
cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C?A?B?C21212122222 2?1??2? A1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1???1//?2?
A2B2C24、
点
P0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：
A?B?C222d?Ax0?By0?Cz0?D
（六） 空间直线及其方程（方向向量）
.
.
1、
??A1x?B1y?C1z?D1?0一般式方程：?
??A2x?B2y?C2z?D2?0
x?x0y?y0z?z0??2、 对称式（点向式）方程：
mnp?s 方向向量：?(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)
3、
4、
?x?x0?mt??y?y0?nt参数式方程：?
???z?z0?pt??两直线的夹角：s1?(m1,n1,p1)，s2?(m2,n2,p2)，
cos??m1m2?n1n2?p1p2m?n?p?m?n?p21212122222 2L1?L2? m1m2?n1n2?p1p2?0
L1//L2?
5、
m1n1p1??m2n2p2
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
sin??Am?Bn?CpA?B?C?m?n?p222222
L//?? Am?Bn?Cp?0
L???
ABC??mnp
.