. 第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念 1、 2、 3、 4、 5、
距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 多元函数：z极限：连续：
?f(x,y)，图形，定义域：
(x,y)?(x0,y0)(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A
f(x,y)?f(x0,y0)
lim偏导数：
fx(x0,y0)?limfy(x0,y0)?lim6、
方向导数：
?x?0f( x0??x,y0)?f( x0,y0)
?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)
?y?y?0?f?f?f?cos??cos??l?x?y7、
其中
?,?为
l的方向角。
??梯度：z?f(x,y)，则gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j。
8、
?z?zdz?dx?dy
全微分：设z?f(x,y)，则
?x?y（二） 性质 1、
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
.
.
1 2 偏导数连续 函数可微 偏导数存在 充分条件
必要条件 4 定义 2 3 函数连续 2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、 微分法
1） 定义： u x
2） 复合函数求导：链式法则
z
若
z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)，则
v ?z?z?u?z?v?z?z?x??u??x??v??x，?y??u??u?y??z?v??v?y 3）
隐函数求导：a.两边求偏导，然后解方程（组），b.公式法
（三） 应用 1、 极值
1）
无条件极值：求函数z?f(x,y)的极值
??fx?0解方程组 ???f 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令 y?0A?fxx(x0,y0)，B?fxy(x0,y0)，C?fyy(x0,y0)，
① 若AC?B2?0，A?0，函数有极小值，
若
AC?B2?0，A?0，函数有极大值；
.
y
.
② 若③ 若2） 令：
AC?B2?0，函数没有极值； AC?B2?0，不定。
?f(x,y)在条件?(x,y)?0下的极值
条件极值：求函数zL(x,y)?f(x,y)???(x,y) ——— Lagrange函数
?Lx?0???Ly?0 ????(x,y)?0解方程组
2、 1）
几何应用
曲线的切线与法平面
?x?x(t)???:?y?y(t)，则?上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的 曲线
???z?z(t)x?x0y?y0z?z0??切线方程为：
x?(t0)y?(t0)z?(t0)法平面方程为：2）
x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0
曲面的切平面与法线
曲面?:F(x,y,z)?0，则?上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0
x?x0y?y0z?z0?? 法线方程为：
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
第十章 重积分 （一） 二重积分
.
.
1、 定义：
?f(???f(x,y)d??lim?D?0k?1nk,?k)??k
2、 3、 4、 1）
性质：（6条）
几何意义：曲顶柱体的体积。 计算： 直角坐标
??1(x)?y??2(x)??， X型区域：D??(x,y)a?x?b????f(x,y)dxdy??Dbadx??2(x)?1(x)f(x,y)dy
??1(y)?x??2(y)??， Y型区域：D??(x,y)c?y?d????f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx
*交换积分次序（课后题） 2）
极坐标
??1(?)????2(?)?D??(?,?)????????
??f(x,y)dxdy???d????D??2(?)1()f(?cos?,?sin?)?d?
（二） 三重积分
1、 2、
.
定义： 性质：
????f(x,y,z)dv?lim??0?f(?k?1nk,?k,?k)?vk
.
3、 1）
计算： 直角坐标
????f(x,y,z)dv???dxdy?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz -----------投影法“先一后二”
???2）
?f(x,y,z)dv??dz??abDZf(x,y,z)dxdy -----------截面法“先二后一”
柱面坐标
?x??cos????y??sin????z?z3）
*球面坐标*
，
????f(x,y,z)dv????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz
??x?rsin?cos????y?rsin?sin????z?rcos?
???曲面
?f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??
（三） 应用
S:z?f(x,y),(x,y)?D的面积：
?z2?z21?()?()dxdy
?x?yA???
D第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分
1、
.
定义：
?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)??si
??0i?1n