.
2、 性质：
1）
?[?f(x,y)??(x,y)]ds???LLf(x,y)ds???g(x,y)ds.
L2）
?Lf(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds. (L?L1?L2).
L1L23）在L上，若
f(x,y)?g(x,y)，则?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds.
( l 为曲线弧 L的长度)
4）L3、
?ds?l计算：
设
f(x,y)在曲线弧
L上有定义且连续，
??x??(t),(??t??)，其中
L的参数方程为???y??(t),?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数，且??2(t)???2(t)?0，则
?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt ,??(???)
（二） 对坐标的曲线积分 1、
定义：设 L 为
xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数P(x,y)n，Q(x,y)在 L 上有界，
定义L?P(x,y)dx?lim?P(?k,?k)?xk??0k?1nk，
Q(???Q(x,y)dy?lim?L?0k?1,?k)?yk.
向量形式：2、
??L?F?dr??P(x,y)dx?Q(x,y)dy
L性质：
??用L表示L的反向弧 , 则??F(x,y)?dr???F(x,y)?dr
LL3、
计算：
设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续, .
L的参数方程为
.
??x??(t),(t:???)???y??(t),，其中
?(t),?(t)在
[?,?]上具有一阶连续导数，且
??2(t)???2(t)?0，则
?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt
?L?4、 两类曲线积分之间的关系：
L： ??x??(t)设平面有向曲线弧为
???y??(t)，
L上点(x,y)处的切向量的方向角为：
cos????(t)??(t)??2(t)???2(t)，cos????2(t)???2(t)，
则?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qcos?)ds.
（三） 格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P(x,y),Q(x,y)在
?D 上具有连续一阶偏导数, 则有?????Q??P??dxdy?D??x?y???Pdx?Qdy
L2、
G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则
?Q?x??P?y ?曲线积分 ?Pdx?Qdy在G内与路径无关 L?曲线积分?Pdx?Qdy?0
L? P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分
（四） 对面积的曲面积分 1、
定义：
.
,?，
?.
设?为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在?上的一个有界函数，
n定义 2、
???f(x,y,z)dS?lim?f(?i,?i,?i)?Si
??0i?1计算：———“一单值显函数、二投影、三代入”
?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，则
???f(x,y,z)dS???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy
22（五） 对坐标的曲面积分 1、 2、 设
预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 定义：
为有向光滑曲面，函数
?P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在?n上的有界函数，定义
???R(x,y,z)dxdy?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy
??0i?1同理，
???P(x,y,z)dydz?lim?P(?i,?i,?i)(?Si)yz
??0i?1n???Q(x,y,z)dzdx?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)zx
??0i?1n3、 1）?性质：
??1??2，则
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????1?2Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
2）?表示与?取相反侧的有向曲面 , 则4、
计算：——“一投二代三定号”
?????Rdxdy????Rdxdy
??:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，z?z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在?上连续，
.
.
则
???R(x,y,z)dxdy????两类曲面积分之间的关系：
DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy,?为上侧取“ + ，” ?为下侧取“ - ”.
5、
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??dS
?其中
?,?,?为有向曲面?在点(x,y,z)处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式 1、
高斯公式：设空间闭区域?由分片光滑的闭曲面?所围成,
?的方向取外侧, 函数P,Q,R在?上有
连续的一阶偏导数, 则有
??P?Q?R????????x??y??z??dxdydz ????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
????P?Q?R?????dxdydz ????Pcos??Qcos??Rcos??dS 或????????x?y?z??2、
*通量与散度*
?通量：向量场A?(P,Q,R)通过曲面?指定侧的通量为：????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
???P?Q?R??散度：divA??x?y?z（七） *斯托克斯公式* 1、
斯托克斯公式：设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, ? 的侧与 ? 的正向符合右手法则,
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含? 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
??R?Q???P?R???Q?P??????y??z??dydz????z??x??dzdx????x??y??dxdy ???Pdx?Qdy?Rdz
???????为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
.
.
???dydzdzdxdxdy?????Pdx?Qdy?Rdz? ?x?y?zPQR*环流量与旋度*
2、
?环流量：向量场A?(P,Q,R)沿着有向闭曲线?的环流量为??Pdx?Qdy?Rdz
???R?Q?P?R?Q?P?旋度：rot A????y??z, ?z??x, ?x??y??
??
第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、
定义：
?1）无穷级数：
?un?1nk?1n?u1?u2?u3???un??
部分和：Sn??uk?u1?u2?u3???un，
?n正项级数：
?un?1?n?1，unn?0
交错级数：
?(?1)un，un?0
2）级数收敛：若limSnn???S存在，则称级数
??un?1?n收敛，否则称级数
?un?1?n发散
3）条件收敛：
??un?1n?n收敛，而
?un?1n发散；
绝对收敛：
?un?1收敛。
.