.
2、 1）
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；
??2） 级数
?a，?bnn?1?n?1n收敛，则
?(an?1?n?bn)收敛；
3） 级数
?an?1n收敛，则任意加括号后仍然收敛；
?4） 3、
必要条件：级数审敛法
?un?1n收敛
?limun??n?0.（注意：不是充分条件！）
正项级数：1）
?un?1?n，un?0
存在；
定义：limSnn???S2）
?un?1?n收敛
??S?有界；
n3） 比较审敛法：
?u，?vnn?1n?1??n为正项级数，且un?vn (n?1,2,3,?)
n 若
?vn?1?n?1?n收敛，则
??un?1?n收敛；若
?un?1?发散，则
?vn?1?n发散.
?4） 比较法的推论：
??u，?vnn?1n为正项级数，若存在正整数
m，当n?m时，un?kvn，而?vnn?1??n?1n?1收敛，则
?un?1n收敛；若存在正整数
?m，当n?m时，un?kvn，而?vn发散，则?un发散.
?5）
??un?l (0?l???)，而?vn收敛，比较法的极限形式：?un，?vn为正项级数，若limn??vn?1n?1n?1n??unun?0或lim???，而?vn发散，则?un发散. 则?un收敛；若limn??vn??vn?1n?1n?1nn?un?1?l，则当l?1时，级数?un收敛；则当l?1时，级比值法：?un为正项级数，设limn??un?1n?1n?6）
.
.
数
?un?1?n发散；当l??1时，级数?un可能收敛也可能发散.
n?1n?7）
?*根值法：
?un?1为正项级数，设limn???nun?l，则当l?1时，级数?un收敛；则当l?1时，级
n?1?数
?un?1n发散；当l?1时，级数?un可能收敛也可能发散.
n?18） 极限审敛法：
?un?1?n为正项级数，若limn?unn???0或limn?un???，则级数?un发散；若存
n??n?1??在
n?un?l (0?l???)，则级数?un收敛. p?1，使得limn??pn?1交错级数：
n(?1)un，un?0满足：un?1?un (n?1,2,3,?)，且limun?0，?n?1?莱布尼茨审敛法：交错级数：
?n??n(?1)un收敛。 则级数?n?1任意项级数：
?un?1?n绝对收敛，则
?un?1?n收敛。
?收敛， q?1?naq ?常见典型级数：几何级数：? n?0 q?1??发散，? p?11??收敛， ?p -级数：?p
n?1n? p?1?发散，?（二） 函数项级数
1、 定义：函数项级数
??un?1?n(x)，收敛域，收敛半径，和函数；
2、
nax幂级数：?nn?0
.
.
an?1??，则收敛半径 收敛半径的求法：limn??an?1??, 0???????R??0, ???? ????, ??0??3、 泰勒级数
?f(x)??n?0f(n)(x0)(x?x0)n
n!?
f(n?1)(?)limRn(x)?lim(x?x0)n?1?0 n??n??(n?1)!展开步骤：（直接展开法） 1） 2）
求出求出
f(n)(x), n?1,2,3,?； f(n)(x0), n?0,1,2,?；
3） 写出
?n?0?f(n)(x0)(x?x0)n；
n!4）
f(n?1)(?)n?1limR(x)?lim(x?x)?0是否成立。 0验证n??nn??(n?1)!间接展开法：（利用已知函数的展开式）
1nx, x?(??,??)； 1）e??n?0n!x?2）
sinx??(?1)n?0??n?11x2n?1, x?(??,??)；
(2n?1)!12nx, x?(??,??)；
(2n)!3）
cosx??(?1)n?0n?1?1n?x, x?(?1, 1)； ?4）
1?xn?0.
.
?1nn?(?1)x, x?(?1, 1) ?5）
1?xn?0(?1)nn?1ln(1?x)??x, x?(?1, 1] 6）
n?0n?1??1n2n?(?1)x, x?(?1, 1) ?7）21?xn?0?m(m?1)?(m?n?1)nm(1?x)?1?x, x?(?1, 1) ?8）
n!n?1 4、 1）
*傅里叶级数* 定义：
正交系：1,sin在区间[?x,cosx,sin2x,cos2x,?,sinnx,cosnx?函数系中任何不同的两个函数的乘积
?, ?]上积分为零。
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)
2n?1傅里叶级数：
1???an?????f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)?系数：?
1??bn??f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)?????2）
收敛定理：(展开定理)
设 f (x) 是周期为2?的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
.
.
?f(x), x为连续点a0????ancosnx?bnsinnx????? f(x)?f(x)2n?1?, x为间断点2??3） 傅里叶展开：
1???an??f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)????①求出系数：????b1?n?????f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)(x)?a?②写出傅里叶级数
f02??(ancosnx?bnsinnx)；
n?1③根据收敛定理判定收敛性。
.
；