No.1 韶关学院学生数学建模论文集 第一期（2002年10月）
钢管订购和运输的规划模型
陈丹妮
摘要：本文就天然气管道钢管的订购和运输问题，建立了使订购和运输总费用最小的优化模型.我们把计
算分为订货和铁路，公路费用的计算及管道上运输费用的计算两个部分.对第一部分的计算，我们采用了增减约束条件的方法，避免了求解一组多分支规划的繁重的计算.对第二部分的计算，我们综合各种可能情况作出比较，从而使计算简化，并求出了最优的钢管订购和运输计划.对于第二问，我们把每个钢厂的销价及生产上限在一定范围内浮动，观察比较得出钢厂S3钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，钢厂同样S1钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大.在第三问中运用第一问的方法建立模型，求出了铁路，公路和管道构成网络时总费用最小的钢管订购和运输计划.
一 题的重述
要铺设一条A1?A2?...?A15的输送天然气的主管道.经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有S1,S2,...,S7.连接钢厂Si（i=1,…,15）和Aj(j?1,...,15)的有铁路和公路.沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路.一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位.已知钢厂Si在指定期限内能生产该钢管的最大数量，钢管出厂销价及1单位钢管的铁路运价和公路运输费.钢管不只是运到点A1,A2,...,A15, 而是管道全线.问如何制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小；哪个钢厂的销价变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对可以计划和总费用的影响最大；如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路，公路和管道构成网络，如何建立相应的模型和如何求解.
290 S3 S2 1200 690 720 202 1100 20 306115600 195 5 10 194 10 31 S1 12 42 70 480 10 S4 30 20 30 A15 500 A14 S7 20 160 70 S6 62 462 S5 10 220 690 170 520 88 1670 320 110 420 A13 210 A12 680 201 A8A9300 A11 A10 45A5 2 750 A4 606 3 A3 104 A2 301 A1 8A6205 A7图一 84
第一期（2002年10月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.1 290 S3 S4 A18 3S7
160 320 A20 20 70 160 20 69S2 100 30 260 690 S6 70 130 (A21) A15 120170 11500 A19 72190 5288 62 A14 420 A16 A17 462 202 S5 10 A13 70 S1 1100 210 10 42 220 A12 212 480 195 300 A11 31 A10 30A9 680 10 201 A85 600 10 194 A6 205 A7 1150 450 80 二 本假设与符号约定
A5 606 750 2 A4 3 A3 104 A2 301 A1 图二 1) 1km主管道钢管称为1单位钢管； 2) 假设在钢厂Si的订购货量为xi个单位；
3) 对于图一，铁路和公路相交的车站从左到右分别记为t1,t2,...,t17；
4) 对于图二，铁路和公路相交的车站或者铁路和管道相交的车站从左到右分别记为
t1,t2,...t18；
5) 假设钢厂Si流经tj站的钢管量为xi,j个单位； 6) 假设Aj处的到货量为aj；
7) 假设1单位钢管从钢厂Si运到Aj的运价为ki,j；
8) 钢厂Si在指定期限内能生产该钢管的最大数量是Si个单位； 9) 钢管出厂销价1单位钢管为Pi万元；
10) 假设铁路运费是整段计算的（从货物上车到下车一次性收费），二不是分段计算； 11) 沿管道公路的运费计算与其他公路一致，且不考虑流量限制的问题.
三 问题的分析
从图上可以看出，各钢厂订购的钢管必先经铁路或公路运往主管道与公路的各节点Ai上再沿主管道进行运输和铺设.因此，我们可以把运输的总费用分为在非管道（铁路或公路）
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No.1 韶关学院学生数学建模论文集 第一期（2002年10月） 上的运输费用和主管道上的运输费用两部分来计算.
对于非管道上的运输.由于钢厂承担制造钢管后至少生产500个单位，所以对于每一个钢厂来说，订购量要么为0，要么就大于或等于500个单位，这就构成一组2个的多分支线性规划问题，计算将非常复杂.但我们可以采用如下办法简化计算：对所有钢厂的产量先不设下限进行求解，若解出来的订购量都符合不小于500个单位的情况则为可行解，若解出来的订购量中有不为0的，但小于500个单位，则在约束条件中加进这个订购量的下限进行求解，直至得出符合条件的最优解.
对于管道上的钢管运输铺设的费用则比较复杂，钢管从一个Ai点出发，可以单纯沿管道公路进行运输，也可以一边运输一边铺设，要使运输费最优是类似一次规划的非线性规划问题，由于变量多，计算量大，因此要进行一定的简化.
我们现证明一重要结论：当管道上各节点的钢管量等于与节点相连接的两边管道总长度的一半时，管道上钢管的运输费最小.
设运价为y，运量为x,y是x的函数，并且有?k?6dy??0.1（其中路程单位为km）.dx假设一段长为S的路程，量为x的钢管从其中一端点出发，y-x的关系如图所示： y y y kx ks kx
k(x-s) 0 x s x 0 s x 0 s x
x?s x?s 运费g即是图中阴影部分的面积.
当x ??s0so1ydy?k[x2?(s?x)2]， 2s0当x=s时，g??ydy??k(x?s)dx?当x>s时，g??ydy?0s12kS， 21ks(2x?s)， 2kk[2x?2(s?x)(?1)]?(4x?2s)，推出22s11s1x?为稳定点.在[0,s]区间上，g(0)?ks2,g(s)?ks2,g()?ks2, 22224s所以当x?时，费用是最小的，由此方法我们计算出管线上的最小运输费t=61593.275万 2'容易看出，当x>s时，对g来求导有：g?元. 四 模型的建立和求解 1,通过上面的分析，我们首先先令各钢厂订购的钢管运往各节点的铁（公）路运费和订 86