高中数学常用公式及常用结论-掌门1对1

???????????? dA,B=|AB|?AB?AB

?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1),B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3368.点的平移公式

''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''???y?y?k?y?y?k'????注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP'的坐标为(h,k).

'''69.“按向量平移”的几个结论

(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x?h,y?k). 71.常用不等式:

(1)a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a=b时取“=”号).

22'a?b?ab(当且仅当a=b时取“=”号). 2(3)a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).

(2)a,b?R??(4)柯西不等式

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.

(5)a?b?a?b?a?b. 72.极值定理

已知x,y都是正数,则有

(1)若积xy是定值p,则当x?y时和x?y有最小值2p; (2)若和x?y是定值s,则当x?y时积xy有最大值推广 已知x,y?R,则有(x?y)?(x?y)?2xy (1)若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大; 当|x?y|最小时,|x?y|最小.

(2)若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小; 当|x?y|最小时, |xy|最大.

73.一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0),如果a与

2212s. 422ax2?bx?c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2?bx?c异号,则其解集在两根之

间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2); x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

74.含有绝对值的不等式

6

当a> 0时,有

x?a?x2?a??a?x?a.

2x?a?x2?a2?x?a或x??a.

75.无理不等式 (1)(2)(3)?f(x)?0? . f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0??f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?77.斜率公式

k?y2?y1(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).

x2?x178.直线的五种方程

k(1)点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为). (2)斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b?0)

ab(5)一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

(3)两点式

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2 ①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,

7

A1B1C1; ??A2B2C2②l1?l2?A; 1A2?B1B2?0①l1||l2?80.夹角公式

k2?k1|.

1?k2k1(l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

AB?A2B1(2)tan??|12|.

A1A2?B1B2(l1:A). 1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0?直线l1?l2时,直线l1与l2的夹角是.

281. l1到l2的角公式

k?k1(1)tan??2.

1?k2k1(l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

AB?A2B1(2)tan??12.

A1A2?B1B2(l1:A). 1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0?直线l1?l2时,直线l1到l2的角是.

2(1)tan??|83.点到直线的距离

A?B84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域

设直线l:Ax?By?C?0,则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是: 若B?0,当B与Ax?By?C同号时,表示直线l的上方的区域;当B与Ax?By?C异号时,表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B?0,当A与Ax?By?C同号时,表示直线l的右方的区域;当A与Ax?By?C异号时,表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

86. 圆的四种方程

(1)圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.

(2)圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D?E?4F>0).

22d?|Ax0?By0?C|22(点P(x0,y0),直线l:Ax?By?C?0).

?x?a?rcos?.

?y?b?rsin?(4)圆的直径式方程 (x?x(圆的直径的端点是1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0A(x1,y1)、B(x2,y2)).

(3)圆的参数方程 ?88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种 若d?222(a?x0)2?(b?y0)2,则

d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内.

8

89.直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种:

d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.

其中d?Aa?Bb?CA?B22.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2?d

d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0.

①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条,其方程是

D(x0?x)E(y0?y)??F?0. 22D(x0?x)E(y0?y)??F?0表示过两个切点当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?22 x0x?y0y?的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b,再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆x2?y2?r2.

2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r;

②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2. ?x?acos?x2y292.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?.

ab?y?bsin?x2y293.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式

aba2a2PF1?e(x?),PF2?e(?x).

cc95. 椭圆的切线方程

xxyyx2y2(1)椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.

ababx2y2 (2)过椭圆2?2?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y?2?1. 2ab

9

x2y2 (3)椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是

abA2a2?B2b2?c2.

x2y296.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式

aba2a2PF1?|e(x?)|,PF2?|e(?x)|.

cc98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1)若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程:2?2?0?y??x.

aababxyx2y2b (2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.

abaab2222xyxy (3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线,可设为2?2??(??0,焦点在x

abab轴上,??0,焦点在y轴上).

99. 双曲线的切线方程

xxyyx2y2 (1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.

ababx2y2 (2)过双曲线2?2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y?2?1. a2bx2y2?C?0相切的条件是 (3)双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线Ax?ByabA2a2?B2b2?c2.

2100. 抛物线y?2px的焦半径公式

p抛物线y2?2px(p?0)焦半径CF?x0?.

2pp过焦点弦长CD?x1??x2??x1?x2?p.

222y?2101.抛物线y?2px上的动点可设为P(,y?)或P(2pt2,2pt)或 P(x?,y?),其中

2py?2?2px?.

109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.

110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.

111.证明平面与平面平行的思考途径

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