（1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．
????????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.
????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线.
????????????推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使MP?xMA?yMB，
?????????????????或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OP?OM?xMA?yMB.
????????????????119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k），则当k?1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共
面．
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by．
????????????????????????A、B、 C、D 四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC? ????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实
????????????????数x，y，z，使OP?xOA?yOB?zOC.
121.射影公式
????'AB已知向量=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B'点在l上的射影B，则
11
????AB?|AB|cos〈a，e〉=a·e
''122.向量的直角坐标运算
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3； 123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 124．空间的线线平行或垂直
????????????AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1).
rr设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则
?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2；
?z??z2?1rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
125.夹角公式
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉=a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b22推论 (a1b1?a2b2?a3b3)2?(a?a?a)(b12?b2?b3)，此即三维柯西不等式.
212122222323.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD中, AC与BD所成的角为?,则
|(AB2?CD2)?(BC2?DA2)|cos??.
2AC?BDrrcos??|cosa,b|
rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|r?=r 222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroob所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（其中?（0???90）为异面直线a,
127．异面直线所成角
??????AB?m?????(m为平面?的法向量). ??arcsin???|AB||m|131.二面角??l??的平面角
?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?的法向量）.
|m||n||m||n|132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.
12
128.直线AB与平面所成角
134.空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 135.点Q到直线l距离
????????????222 dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).
????1h?(|a||b|)2?(a?b)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量
|a|????b=PQ).
136.异面直线间的距离
????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为d?|n|l1,l2间的距离).
137.点B到平面?的距离
???????|AB?n|??（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|141. 面积射影定理
S'S?.
cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 146.球的半径是R，则
'4?R3, 32其表面积S?4?R．
其体积V?147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积
66a,外接球的半径为a. 1241V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.
31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.
3149.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式
m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*
.(n，m∈N，且m?n)．
(n?m)！注:规定0!?1.
13
153.组合数公式
Cmn=
Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*
==(∈N，m?N，且m?n). nm1?2???mm！?(n?m)！Am154.组合数的两个性质
mn?m(1)Cn=Cn ; mmm?1(2) Cn+Cn=Cn?1. 0注:规定Cn?1.
156.排列数与组合数的关系
mm . An?m！?Cn157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
m?1mm?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）1m?1m1m?1?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.
n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题
常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一
hk组互不能挨近的所有排列数有AhAh?1种.
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.
Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.
161.二项式定理
0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;
二项展开式的通项公式
rn?rr1，2?，n). Tr?1?Cnab(r?0，162.等可能性事件的概率
P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
14
（1）P,2,?); i?0(i?1（2）P1?P2???1. 169.数学期望
E??x1P1?x2P2???xnPn??
170.数学期望的性质
（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??171.方差
1. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??
172.标准差
222??=D?.
173.方差的性质
(1)D?a??b??a2D?；
(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??q. 2p174.方差与期望的关系
D??E?2??E??.
175.正态分布密度函数
2f?x??1e2?6??x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表
示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
x?1f?x??e2,x????,???.
2?62177.对于N(?,?)，取值小于x的概率
?x???F?x?????.
???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?
2?F?x2??F?x1?
?x????x1??????2?????.
??????178.回归直线方程
nn??xi?x??yi?y??xiyi?nxy??i?1i?1?b??nn?2y?a?bx，其中?22.
x?xx?nx????ii?i?1i?1??a?y?bx179.相关系数
15