长方体与正方体
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
例题精讲
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如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体?2(ab?bc?ca)； 长方体的体积：V长方体?abc．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体?6a2，V正方体?a3．
A板块一 长方体与正方体的表面积
【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？
后面上面左面前面下面右面 【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左
面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1?1?1?2?2?1?8(个)面．
前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱6?6?6?18(条)．
【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？
【解析】 9个面，21条棱．
【例 2】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何
体的表面积是多少？
【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10?10?6?600．
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下
的立体图形的表面积是多少？
【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积
不变：50?50?6?15000(平方厘米)．
【例 3】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它
的表面积减少了多少?
【解析】 原来正方体的表面积为5?5?6?150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们
的面积为(3?2)?2?12，所以减少的面积就是12．
【例 4】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米
的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【解析】 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又
增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．
【例 5】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立
方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【解析】 大立方体的表面积是20?20?6?2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但
里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454?2400)?6?9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．
【例 6】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小
1洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前
21两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
4 【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2?2?2?8(平方厘米)；左右方向、前
11后方向：2?2?4?16(平方厘米)，1?1?4?4(平方厘米)，??4?1(平方厘米)，
2211111??4?(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：8?16?4?1??29(平方厘米). 44444
【例 7】 （《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、
高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图1 图2 图3 图4
【例 8】 （北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、