第一部分专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的热点问题专题强化
精练提能 理
[A卷]
1．已知F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相
4
交，其中一个交点为P，则|PF2|＝( )
A．6 B．4 C．2 D．1
解析：选A.由题意知|PF2|－|PF1|＝2a，由双曲线方程可以求出|PF1|＝4，a＝1，所以|PF2|＝4＋2＝6.故选A.
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C2
→→
的两个焦点．若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是( )
33?33???A.?－，? B.?－，?
3?6??3?6
2
y2
x2
2
?2222?
C.?－，?
3??3?2323?
D.?－，?
3??3
→
解析：选A.由题意知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)，所以MF1
→
＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0)．
→→2
因为MF1·MF2＜0，所以(－3－x0)(3－x0)＋y0＜0，
22
即x0－3＋y0＜0.
因为点M(x0，y0)在双曲线上，所以－y0＝1，即x0＝2＋2y0，
2所以2＋2y0－3＋y0＜0，所以－
2
2
x20
222
33
＜y0＜.故选A. 33
y2x2
3．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆
ab与双曲线渐近线的一个交点为(4，3)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 916C.
－＝1 169
2
y2x2
B.－＝1 43D.－＝1 34
2
y2x2y2x2
y2x2
解析：选A.由题意可知c＝3＋4＝5，
222
所以a＋b＝c＝25.①
aa3
又点(4，3)在y＝x上，故＝.②
bb4
由①②解得a＝3，b＝4，
所以双曲线的方程为－＝1，故选A.
916
y2x2
x2y2
4．(2015·河南省洛阳市统考)已知点F是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点Eab是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1，2)
1
C．(2，1＋2) D．(1，1＋2)
b2
解析：选B.若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|
ab222222
＝a＋c，则 a故选B. 5．已知圆P的半径等于椭圆＋＝1的长轴长，圆心是抛物线y＝42x的焦点，经 49过点M(－2，1)的直线l将⊙P分成两段弧，则劣弧长度的最小值为( ) π2πA. B. 33C．2π D．4π 解析：选D.椭圆＋＝1的标准方程为＋＝1，其长轴长为6；抛物线y＝42x的 4994焦点坐标为(2，0)，所以圆P的圆心为P(2，0)，半径r＝6. 而|MP|＝（－2－2）＋（1－0）＝3＜6，故点M在圆P内． 显然当过点M的直线l被圆所截得的弦长最小时，对应劣弧所对的圆心角最小，从而劣弧长度也最小，此时MP⊥l. θ|MP|3 设直线l被圆P所截得的弦所对的圆心角为θ，θ∈(0，π]，则有cos ＝＝＝ 2r6 1θπ2π，所以＝，即θ＝. 2233 2π 所以此时劣弧的长度为rθ＝6×＝4π.故选D. 3 2 2 x2y2 2 x2y2y2x2 2 x2y2 6．(2015·济宁模拟)已知点F1、F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双 abb曲线左支上存在点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为( ) aA.2 C．2 B.5 2 D.5 解析：选D.如图所示，点P与点F2关于直线y＝x对称，所以|OP|＝|OF2|＝|OF1|＝c，所以PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，又|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2b，|PF1|＝2a，又因为点P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，2b－2a＝2a，b＝2a，故e＝＝5. babaca 122 7．已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x－1)＋y＝相切，且双曲线的右焦点为抛物5线y＝45x的焦点，则该双曲线的标准方程为________． 2 2 解析：由题意可知双曲线的半焦距c＝5， x2y2 设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1，0)到该直 ab线的距离为半径 12 得k＝， 4b21即2＝. a4又a＋b＝(5)， 22 则a＝4，b＝1， 所以双曲线的标准方程为－y＝1. 4答案：－y＝1 4 →→→ 8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，|AM|＝1，且PM·AM＝ 2516 → 0，则|PM|的最小值是________． →→ 解析：因为PM·AM＝0， →→所以AM⊥PM. →2→2→2→2 所以|PM|＝|AP|－|AM|＝|AP|－1. 因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小， →→ 所以|AP|min＝2，所以|PM|min＝3. 答案：3 2 9．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x＝4y的切线，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点为________． 121 解析：设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x，则y′＝x，则 42 11 在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得，y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线 22 11 方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝x1t－y1，－2 22 11 ＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为：y221 －2＝tx，因此直线AB恒过定点(0，2)． 2 答案：(0，2) x2y22πa2＋e2 10．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则 ab32b的最小值为________． ba2＋e2a2＋4a2 解析：由题意，＝3，所以b＝3a，所以c＝2a，e＝2，＝＝＋≥ a2b23a233a23a＋e23 (当且仅当a＝2时取等号)，则的最小值为. 32b3 23答案： 3 2 2 2 2 2 1 ， 5 x2 2 x2 2 x2y2 3