第三章 3.2 第3课时
一、选择题
1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是( )
1111A．≤4 B．x＋y≥1
x＋yC．xy≥2
1D．xy≥1
[答案] B
[解析] 取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．
11
具体比较如下：∵0 x＋y41111x＋y2xy21111 xy≤4，∴xy≥4∴D不对；x＋y＝xy≥xy＝，∵≥2，∴x＋y≥1. xyxy 2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( ) A．100 B．50 C．20 D．10 [答案] B m2＋n2 [解析] 由m2＋n2≥2mn得，mn≤2＝50，等号在m＝n＝52时成立，故选B． 3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A．ab>2 C．ab≥2 11B．a＋b≤1 11D．≤8 a2＋b2 [答案] D [解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4， a＋b ∴ab≤2＝2， 11 ∴ab≤4，∴ab≥4， 11a＋b4 ∴a＋b＝ab＝ab≥1，故A、B、C均错，选D． 11 [点评] 对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴≤8. a2＋b24．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为( ) A．18 B．12 4C．23 D．3 [答案] A [解析] ∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y ≥23x·32y＝23x＋2y＝234＝18， - 1 - 等号在3x＝32y即x＝2y时成立． ∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18. 5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( ) 3 A．7 B．39 C．1＋22 D．5 [答案] A [解析] 由已知得x＋3y＝2， 3x>0,27y>0， ∴3x＋27y＋1≥23x＋3y＋1＝6＋1＝7， 当且仅当3x＝27y， 1 即x＝1，y＝3时等号成立． 6．(2013·福建文，7)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] [答案] D [解析] ∵2x＋2y≥22x＋y，∴22x＋y≤1， 1 ∴2x＋y≤4＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D． 二、填空题 xy 7．已知x、y∈R＋，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为________． [答案] 3 xy [解析] ∵x>0，y>0且1＝3＋4≥2 xy12， xy3 ∴xy≤3，当且仅当3＝4，即x＝2，y＝2时取等号． 8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________ 1 [答案] 2(a－b)2 [解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给a2＋b2a＋b 读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式2≥(2)2更简捷． ∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[ x－a＋b－x ]2＝2 a－b2 . 2 a＋b 当且仅当x－a＝b－x，即x＝2时，上式等号成立． a＋ba－b2 ∴当x＝2，ymin＝. 2三、解答题 ab 9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，x＋y＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值． - 2 - ab [解析] x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(x＋y) aybx ＝a＋b＋x＋y≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2， aybxy等号在x＝y即x＝ b a时成立． ∴x＋y的最小值为(a＋b)2＝18， 又a＋b＝10，∴ab＝16. ∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 一、选择题 ?1??1?1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则a2－1b2－1的最小值为( ) ???? A．6 C．8 [答案] [解析] B．7 D．9 D ∵a＋b＝1，a>0，b>0， 11 ∴ab≤4，等号在a＝b＝2时成立． ?1??1?1－a21－b2∴a2－1b2－1＝a2·b2 ???? ＝ 1＋a·b1＋b ·b2a2 a1＋a1＋b ＝ ab 2＋ab22 ＝ab＝ab＋1≥1＋1＝9，故选D． 4 11 2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则a＋b的最小值为( ) 11A．4 B．2 C．2 D．4 [答案] D [解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1， 11?11?ba∴a＋b＝a＋b(a＋b)＝1＋1＋a＋b ??≥2＋2ba1×＝4 (等号在a＝b＝ab2时成立)． 故所求最小值为4，选D． 1 3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( ) x－1 - 3 -