附件7
论文（设计）管理表一
昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告
数学系 姓名 学号 专业班级 马尚红 1025809043 数学与应用数学B1002 指导教师 论文（设计）题目 浅谈泰勒公式及其应用 系（院） 学生 学科 姓名 职称 理学 马园媛 讲师 一、选题的根据（1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。2、撰写要求：宋体、小四号。） 1.选题的来源及意义 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数ex在x?0的附近可以用以x2x3xn下多项式来近似地表示：e?1?x?????称为指数函数在0处的n阶泰勒2!3!n!x展开公式。这个公式只对0附近的x有用，x离0越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：f?a?h??f?a??f'?a?h?o?h?，其中o?h?是比h高阶的无穷小。也就是说f?a?h??f?a??f'?a?h,或f?x??f?a??f'?a??x?a?.注意到f?x?和f'?a??x?a? 在a 处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前n次导数值都与函数在a处的前n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设??a,r?是欧几里得空间RN中的开球，f是定义在??a,r?的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n?1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有，1??f?a???，其中的?是多重指标。 ??????f?x???x?a??xx?a????!?x??0??n?1n1??f?x?. 其中的余项也满足不等式：对所有??n?1的?满足???x??sup?y???!?x 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识，由此本文将总结几种泰勒公式的证明及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2.国内外研究状况 1 - -
重要数学公式对数学发展的作用是不可估量的，泰勒定理对数学发展的影响，可以说是贯穿古今，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分，1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里—牛顿插值公式求极限而得到的，一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世泰勒定理在数学发展史上有着重要的作用。 泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果，例如：湖南科技学院数学系的唐仁献在文章《泰勒公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了泰勒公式；洛阳工业高等专科校计算机系王素芳、陶容、张永胜在所著的文章《泰勒公式在计算及证明中的应用》中研究了泰勒公式在极限运算、等式及不等式证明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题，于此类似的研究成果还有湖北师范学院数学系的蔡泽林、陈琴的《定积分不等式的几种典型证法》和潍坊高等专科学校的陈晓萌所著的《泰勒公式在不等式中的应用》等等。 3.研究目标 泰勒公式在数学研究中有着广泛应用，泰勒公式的研究有很重要的现实意义。泰勒公式在微积分的领域都有重要的应用，集中体现了微积分的核心。本文将对泰勒公式在证明不等式、理解无穷小替换的实质、在计算中的体现、在函数中的应用、在级数中的应用 进行举例说明。 4.本文创新点 本文将详细介绍泰勒公式不同余项的原理及其应用，同时对其进行了相应的举例和说明，总结概括了泰勒公式及其应用的相关知识；此外，还将不同余项的泰勒公式的应用进行了相应的归类。 5.主要参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001. [2] 陈传璋.金福临，朱学炎，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983. [3] 齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报：自然科学版，2003（SI）：23—25. [4] 赵文强.关于含参量广义积分一致收敛性的教学研究[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2011,28（5）：458-462. [5] 陈守信.数学分析选讲[M].北京;机械工业出版社，1984. [6] 吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京；高等教育出版社，1984. [7] 复旦大学数学系.数学分析[M].北京；高等教育出版社. [8] 陈丽.泰勒公式的应用[J].廊坊师范学院学报；自然科学版，2009,9（2）： 20-23. 2
[9] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京；高等教育出版社，2006. [10] 李永乐，范培华.数学复习全书[M],北京；国家行政学院出版社，2008. [11] 刘景忠，王国政.公式在证明不等式方面的几个应用，高等数学研究函数，2006.9（2）. [12] 刘玉莲，杨奎元，刘伟，吕凤.数学分析讲义学习辅导书下册[M]，北京；高等教育出版社，2003. 二、采用的研究方法及手段（1、内容包括：选题的研究方法、手段及实验方案的可行性分析和已具备的实 验条件等。2、撰写要求：宋体、小四号。） 查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学 模型中的应用。 分析法：通过对图论的研究，发现其性质。 文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。 归纳法：总结并整理论文。 3 - -