第四章
复习题
1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，
为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。
4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数
用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。
5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之．
6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？
7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？ 8．有人对一阶导数
你能否判断这一表达式是否正确，为什么？ 一般性数值计算
4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对Bi=,1,10的三种情况计算下列特征方程的根
并用计算机查明，当时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。 解：，不同Bi下前六个根如下表所示： Bi μ1 μ2 μ3 μ4 μ5 μ6 10 Fo=及时计算结果的对比列于下表：
Bi= Bi= Bi= Fo= Bi=1 Fo= Bi=1 Fo= Bi=1 Fo= Bi=1 Bi=10 Bi=10 Bi=10 Bi=10 第一项的值 前六和的值 比值 第一项的值 前六项和的值 比值 第一项的值 前六项的值 比值 第一项的值 Bi= 前六项和的值 比值 4-2、试用数值计算证实，对方程组
用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。 解：将上式写成下列迭代形式
假设初值为0，迭代结果如下：
迭代次数 0 1 2 3 4 0 0 - 1. 0 -0. 显然，方程迭代过程发散
因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。
4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯-赛德尔迭代法计算之值。
解：温度关系式为：
开始时假设取℃；℃ 得迭代值汇总于表 迭代次数
0 20 20 15 15 1 2 3 23. 22. 15. 4 28. 23. 22. 15. 5 28. 23. 22. 15. 6 23. 15..
其中第五次与第六次相对偏差已小于迭代终止。
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点2，3的温度。图中.肋高H=4cm,纵剖面面积导热系数。
解：对于2点可以列出： 节点2： 节点3：。 由此得： ，，
，于是有：， ，代入得： ，， ，， ， 。
离散方程的建立
4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指
出其稳定性条件（。
解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分：
所以有
稳定性条件
4-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程为
试利用本题附图中的符号，列出节点（i,j）的差分方程式。
解：将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得：
也可采用热平衡法。对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得：
对等式两边同除以并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却，底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温度的变化，取中心角为1rad的区域来研究（如本题附图所示）。已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1），（M,1）(M,n)及（M,N）的离散方程式。在r及z方向上网格是各自均分的。
解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。 节点（1，1）：
节点（m，1）：
节点（m，n）：
4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用来表示。试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点（M,n）的温度方程，并对如何求解这一方程提出你的看法。设网格均分。
解：利用热平衡法： ，
将h写为，其中为上一次迭代值，则方程即可线性化。
4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4），其余两个界面与温度为的流体对流换热，h均匀，内热源强度为。试列出节点1，2，5，6，9，10的离散方程式。
解：节点1：；
节点2：； 节点5：； 节点6：； 节点9：； 节点10：。
当以上诸式可简化为： 节点1：； 节点2：； 节点5： 节点6：； 节点9：； 节点10：。
一维稳态导热计算
4-10、一等截面直肋，高H,厚，肋根温度为，流体温度为，表面传热系数为h,肋片导热系数为。将它均分成4个节点（见附图），并对肋端为绝热及为对流边界条件（h同侧面）的两种情况列出节点2，3，4的离散方程式。设H=45cm,,=50W/,℃，℃，计算节点2，3，4的温度（对于肋端的两种边界条件）。
解：采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为： 节点2：； 节点3：；
节点4：肋端绝热，
肋端对流。
其中。将已知条件代入可得下列两方程组： 肋端绝热 肋端对流
由此解得：肋端绝热，，； 肋端对流，，。
肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。
4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日益得到广泛的应用。附图所示为双层圆筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。已知W/，℃，℃，。试用数值方法确定稳态时双层圆筒壁截面上的温度分布。
解：采用计算机求解，答案从略。
采用热平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解;如果采用Taylor展开法列出方程，则需对两层管子单独进行，并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数值计算也需分两区进行，界面耦合。截面的温度分布定性地示于上图中。 4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度℃，其表面上有自然对流散热，，其中，d为杆直径，。杆高H=10cm，直径d=1cm, ＝50W/，℃。不计辐射换热。试用数值方法确定长杆的散热量（需得出与网格无关的解。杆的两端可认为是绝热的。 解：数值求解过程略，Q=。
4-13 在上题中考虑长杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为，环境可作为温度为的大空间，试重新计算其导热量。 解：数值求解过程略，Q=。
4-14、有如附图所示的一抛物线肋片，表面形线方程为：
肋根温度及内热源恒定，流体表面传热系数h,流体温度为常数。定义：。试：（1）建立无
量纲温度的控制方程；（2）在无量纲参数下对上述控制方程进行数量计算。确定无量纲温度的分布。
解：无量纲温度方程为：。数值计算结果示于下图中，无量纲温度从肋根的1变化到肋端的。
一维非稳态导热计算
4-15、一直径为1cm,长4cm的钢制圆柱形肋片，初始温度为25℃，其后，肋基温度突然升高到200℃，同时温度为25℃的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为100。试将该肋片等分成两段（见附图），并用有限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻4个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。已知＝43W/，。（提示：节点4的离散方程可按端面的对流散热与从节点3到节点4的导热相平衡这一条件列出）。
解：三个节点的离散方程为：
节点2：
节点3： 节点4： 。
以上三式可化简为：
稳定性要求，即。 ，代入得： ，
如取此值为计算步长，则： ，。
于是以上三式化成为： 时间 点 1 2 3 4 0 △ 2△ 3△ 200 200 200 200 25 25 25 25 25 4△ 200 在上述计算中，由于之值正好使， 因而对节点2出现了在及2时刻温度相等这一情况。如取为上值之半，则，，，于是有：
对于相邻四个时层的计算结果如下表所示： 时间 点 1 2 3 4 0 △ 2△ 3△ 4△ 200 200 200 200 200 25 25 25 25 25