浙江省2020版高考数学第四章导数及其应用第2节导数与函数的单调性习题(含解析)

第2节 导数与函数的单调性

考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.

知 识 梳 理

1.函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在某个区间内可导,

(1)如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增; (2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x);

(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表,写出函数的单调区间. 3.已知单调性求解参数范围的步骤为: (1)对含参数的函数f(x)求导,得到f′(x);

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f′(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围;

(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f′(x)=0.若f′(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,

b)上为常数函数,舍去此参数值.

[常用结论与易错提醒]

(1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数.

(2)有些初等函数(如f(x)=x+x)的单调性问题也不必用导数.

(3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解,注意检验等号. (4)注意函数、导函数的定义域.

基 础 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

3

(1)若可导函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( ) 解析 (1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f′(x)≥0. (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)√ (3)×

2.函数f(x)=e-x的单调递增区间是( ) A.(-∞,1] C.(-∞,0]

xxB.[1,+∞) D.(0,+∞)

解析 令f′(x)=e-1>0得x>0,所以f(x)的递增区间为(0,+∞). 答案 D

3.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )

解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)>0的解集对应y=f(x)的增区间,f′(x)<0的解集对应y=f(x)的减区间,验证只有D选项符合. 答案 D

4.(2019·镇海中学月考)函数f(x)=x-ln x的单调减区间为________.

1x-1x-1解析 ∵f(x)=x-ln x,∴f′(x)=1-=,∵x>0,∴当x∈(0,1)时,f′(x)=

xxx<0即函数f(x)=x-ln x的单调减区间为(0,1). 答案 (0,1)

ln x5.若f(x)=,0<a<b<e,则f(a)与f(b)的大小关系为________.

x1-ln x解析 f′(x)=,当0<x<e时,1-ln x>0, 2

x即f′(x)>0,∴f(x)在(0,e)上单调递增, ∴f(a)<f(b).

答案 f(a)<f(b)

e

6.函数f(x)=的单调递增区间为________;单调递减区间为________.

xxe(x-1)

解析 函数的定义域为{x|x≠0},且f′(x)=,令f′(x)>0得x>1,f(x)的单2

xx调递增区间为(1,+∞),令f′(x)<0,得x<1且x≠0,f(x)的单调减区间为(-∞,0)和(0,1).

答案 (1,+∞) (-∞,0)和(0,1)

考点一 求不含参数的函数的单调性

?132?x【例1】 已知f(x)=?x+x?e,讨论f(x)的单调性.

?2??32?x?132?x解 由题意得f′(x)=?x+2x?e+?x+x?e

?2??2??1352?x=?x+x+2x?e

2?2?

1x=x(x+1)(x+4)e. 2令f′(x)=0,

解得x=0,x=-1或x=-4.

当x<-4时,f′(x)<0,故f(x)为减函数; 当-40,故f(x)为增函数; 当-10时,f′(x)>0,故f(x)为增函数.

综上知,f(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数. 规律方法 确定函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x);

(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 12

【训练1】 (1)函数y=x-ln x的单调递减区间为( )

2A.(-1,1) C.(1,+∞)

B.(0,1) D.(0,+∞)

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