1．计算下列定积分： ⑴
??3sin(x?3)dx；
???【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
?3sin(x?3)dx???3sin(x?3)d(x?3)??cos(x?3)????????3
??[cos(??)?cos(?)]??[?cos?(?cos)]?0。
33333【解法二】应用定积分换元法
令x????????3x?du?u，则d，当x从
?2?4?单调变化到?时，单调变化到，u从
3334?32?3于是有
??3sin(x?3)dx??sinudu??cosu??[?cos?4?32?3??[cos4?2??cos] 33??(?cos)]?0。
33?⑵
dx??2(11?5x)3；
1【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
1111dx?3??(11?5x)?2?(11?5x)d(11?5x)??2(11?5x)35??25?211?2
??5111111???(?1)[?]。 222512101610(11?5?1)(11?5?2)【解法二】应用定积分换元法
令11?5x?u，则dx?16，于是有
1du，当x从?2单调变化到1时，u从1单调变化到5116?311?2dx?udu??u??2(11?5x)35?15?21161??5111(2?1)?。
5121016?⑶
?20sin?cos3?d?；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
1422??cos?sin?cos?d???cos?dcos??0?0433???201???[cos4?cos40]
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11??[0?1]?。
44【解法二】应用定积分换元法
令cos??u，则?sin?d??du，当?从0单调变化到
到0，于是有
??时，u从1单调变化2?⑷
20011sin?cos3?d????u3du??u3du?u410410?1。 4??0(1?sin3?)d?；
3【解】被积式为(1?sin?)d?，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是
3独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对sin?d?的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：
sin?d???dcos?，余下的sin2??1?cos2?，这样得到的?(1?cos2?)dcos?便为变
量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
??0(1?sin?)d???1d???sin?sin?d???003??2?0??(1?cos2?)dcos?
0?1???(cos??cos3?)?0
31???(cos??cos0)?(cos3??cos30)
341???(?1?1)?(?1?1)???。
33【解法二】应用定积分换元法
令cos??u，则?sin?d??du，当?从0单调变化到?时，u从1单调变化
到?1，于是有
??0(1?sin?)d???1d???sin?sin?d???003??2?0??(1?cos2?)dcos?
0??11?1 ????(1?u2)du???(u?u3)11341???(?1?1)?(?1?1)???。
33
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?⑸
??2cos2udu；
6【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：
cos2u1?cosu1?cos2u2?，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：cosu?，使之222可以换元成为基本可积形式： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
??1?cos2u11??62cosudu???622du?2(??62du?2??62cos2ud2u) ??21?(u2??26?1??1?12?sin2u?)?[(?)?(sin??sin)]
22623261?3?(?)。 234【解法二】应用定积分换元法
令2u?x，则du?于是有
??1?cos2u11??62cosudu???622du?2(??62du?2??62cos2ud2u) ??2???1dx，当u从单调变化到时，x从单调变化到?，
62321?(u2??261?1??1???cosxdx)?[(?)?sinx??] 23226231?1?1?3?[?(sin??sin)]?(?)。 2323234⑹
?202?x2dx；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x?变化到
2sinu，当x从0单调
2时，u从0单调变化到
?，且2?x2?2?2sin2u?2cosu，2dx?2cosudu，使得
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