二次函数的实际应用——最大(小)值问题
知识要点：
b24ac?b2)?二次函数的一般式y?ax?bx?c(a?0)化成顶点式y?a(x?，如果自变量的取2a4a2值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
4ac?b2b即当a?0时，函数有最小值，并且当x??，y最小值?；
4a2a4ac?b2b当a?0时，函数有最大值，并且当x??，y最大值?．
4a2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，如果顶点在自变量的取值范围x1?x?x2内，则当x??b，2a4ac?b2y最值?，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范
4a围内y随x的增大而增大，则当x?x2时，
2y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；
2如果在此范围内y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c．
[例1]：求下列二次函数的最值：
（1）求函数y?x?2x?3的最值．
（2）求函数y?x?2x?3的最值．(0?x?3)
[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
221
月 日
[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数．
⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；
x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，??“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)?与销售单价x(元) (x?30）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y与x的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案)．
作业布置： 1．二次函数y?12x?x?1，当x=_________时，y有最_______值，这个值是_________． 22．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为__________ (只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”)． 3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是_______，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_______(填“有解”或“无解”) 4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y??则他与篮底的距离L是 ________ ．
12x?3.5的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，52
5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，?在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-
12
gt（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，2则该物体在运动过程中最高点距离地面______m．
6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=S=
12
V确定；雨天行驶时，这一公式为10012
V．如果车行驶的速度是60km/h，?那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差______米． 507．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价__元，最大利润为__元． 8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．
y B A Ox 9．在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，?某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据： 销售价x（元/千克） … 25 销售量y（千克） 24 23 22 … … 2000 2500 3000 3500 … （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？
10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式； (2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？
3