高考数学高中数学知识点南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题11:直线与圆、圆与圆

专题11:直线与圆、圆与圆

问题归类篇

类型一:圆的方程

一、前测回顾

1.经过三点A(4,3),B(5,2),C(1,0)的圆的方程为 .

x2y2

2.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为 .

1643.已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上,若圆C与两个坐标轴都相切,则圆C的标准方程是 ______.

113251x+?2+?y-?2= 答案:1. x2+y2-6x-2y+5=0 2. (x±) 2+y2=; 3. ??3??3?924

二、方法联想

求圆的方程

方法1:三点代入圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,求解D、E、F. 方法2:三角形两边的垂直平分线交点为圆心. 方法3:直角三角形外接圆的直径为斜边.

优先判断三角形是否为直角三角形,若为直角三角形,用方法3;若只涉及圆心,可用方法2;方法1可直接求出圆心和半径. 三、归类巩固

2

*1.在平面直角坐标系xOy中,已知点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆过原点O,直线2x+y-4=0 与圆

tC交于M,N两点,若OM=ON,则圆C的标准方程为 . ?利用直线OC与已知直线垂直求出圆心,利用线圆位置关系舍一解???答案:(x-2)2+(y-1)2=5.?

?**2.在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C,则C的方程是________.

(三点代入圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,求解D、E、F;设而不求法求外接圆方程) 答案: x2+y2+2x-( b+1) y+b=0

***3.已知圆O:x2+y2=4,点M(4,0),过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O交于A,B 两点,则△ABM的外接圆的面积的最小值为________. (求外接圆半径的最值) 25

答案:π

4

类型二:直线与圆相切问题

一、 前测回顾

1.过点P(1,0)作圆C: (x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点分别为A、B,则切线方程为 ; 切线长PA为 ;直线AB的方程为 .

2.经过点A(4,-1),且与圆:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B(1,2)的圆的方程为 . 3.圆C1:x2+y2=16与C2:(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r= . 答案:(1) x=1或5x+12y-5=0;2;3x+2y-7=0. (2)(x-3)2+(y-1)2=5.(3)3 二、方法联想 相切问题 B(1) 位置判断:方法1:利用d=r;方法2:在已知切点坐标的

C情况下,利用圆心和切点的连线与切线垂直.

PA

(2)如图,在Rt△PAC 中,切线长PA=PC2-R2; 当圆外一点引两条切线时,

(1)P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆),其中PC为直径; (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程.

(3)PC为∠APB的平分线,且垂直平分线段AB. 三、归类巩固

*1.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.

(已知直线与圆相切,圆心到直线的距离即为半径,求半径的最值;或者紧扣直线过定点解题) 答案:(x-1)2+y2=2.

**2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ的长的取值范围是________.

(直线与圆相切时,利用所得到的直角三角形,向点与圆心的距离问题转化)

2

答案:[14,22)

3

**3 .已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是__________. (∠BAC最大时,直线与圆相切,转化为点与圆心的距离问题) 答案:[1,5]

***4.平面直角坐标系xOy中,点P在x轴上,从点P向圆C1:x2+(y-3)2=5引切线,切线长为d1,从点P向圆C2:(x-5)2+(y+4)2=7引切线,切线长为d2,则d1+d2的最小值为_____.

(求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题)

答案:52

解:设点P(x,0),则

d1=x2+(-3)2-5,d2=(x-5)2+42-7,d1+d2=x2+4+(x-5)2+9, 几何意义:点P(x,0)到点M(0,2),N(5,-3)的距离和.

当M,P,N三点共线时,d1+d2有最小值52,此时P(2,0) 类型三:直线与圆的相交问题 一、 前测回顾

1.已知过定点P(1,2)的直线l交圆O:x2+y2=9于A,B两点,若AB=42,则直线l的方程为 ; 当P为线段AB的中点时,则直线l的方程为 . 2.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(-1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 .

答案:1.x=1或3x-4y+5=0;x+2y-5=0.2.30;

二、方法联想 相交弦问题

直线与圆的位置关系判断方法: 代数法和几何法.

(1) 圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式.

θLθL

如:()2+d2=R2,d=Rcos,=Rsin.

2222

(2)相交弦的垂直平分线过圆心.

(3)过圆内一定点,最长的弦为直径,最短的弦与过定点的直径垂直. 三、归类巩固

*1.直线l1:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若MN≥23,则k的的取值范

围是________.

(已知弦长范围,求参数取值范围)

33

答案: [-,]

33

*2.过点P(-4,0)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=5相交于A,B两点,若点A恰好是线段PB的中点,则直

线l的方程为________.

(已知弦的性质,求直线方程) 答案:x±3y+4=0

**3.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线交x轴于C,D两点,若AB=23,则CD= . (已知弦长,求直线方程及有关量的取值) 答案:4

***4.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x+1)2+(y-6)2=25,圆C2:(x-17)2+(y-30)2=r2.若圆C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A,B,满足PA=2AB,则半径r的取值范围是________.

(已知两弦长关系求参数范围问题) 答案:[5,55]

类型四:圆上点到直线或点的距离问题

一、 前测回顾

1.已知实数x,y满足x2+y2=4, 则(x-3)2+(y-4)2的范围是 .

2.圆C:x2+(y-2)2=R2(R>0)上恰好存在2个点,它到直线y=3x-2上的距离为1,则R的取值范围为 .

答案:1. [9,49]; 2.1<R<3. 二、方法联想 A 圆上的点到直线的距离

C (1)当直线与圆相离时,

圆上点到直线距离,在点A处取到最大值d+R,在点B取到最小值d-R.

B(2)当直线与圆;在圆外时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是d-R.

(1) 当点在圆内时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是R-d. 圆上的点到点的距离

(1)当已知点在圆外时,

圆上点到已知点距离最大值d+R,最小值d-R.

(2) 当已知点在圆内时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是R-d. 三、 归类巩固 *1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是 .

答案:(-13,13)

(已知圆上点到直线距离求参数范围)

**2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5?,圆C与y轴交于点O,B,其中O为原点.设P为直线l:x+y+2=0上的动点,Q为圆C上的动点,求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标.?

42

答案:PB+PQ的最小值为25,此时P点坐标为(-,-) 33?考查点圆距离与点线距离的综合问题??

类型五:两圆的位置关系问题

一、 前测回顾

1.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若两圆相交,实数

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