第2讲 空间点、线、面的位置关系
[做高考真题·明命题趋向]
[做真题—高考怎么考]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
解析：选B.若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.C.
2
25 2
B.D.3 27 2
解析：选C.如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾BE5
股定理得BE＝5.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝.故选C.
AB2
3．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1
B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
解析：选C.由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.
4．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E-BB1C1C的体积．
解：(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 1所以四棱锥E-BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.
3
[明考情—备考如何学]
1．以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度中等．
2．以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透． [研考点考向·破重点难点]
考点1 空间线面位置关系的判断(基础型)
[知识整合] 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．
(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
[考法全练]
1．已知α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )
A．垂直 C．异面
B．相交 D．平行
解析：选D.因为α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m?α，n?α， 所以n在平面α内，m与平面α相交， 因为A∈m，A∈α，
所以A是m和平面α相交的点， 所以m和n异面或相交，一定不平行．
2．(2019·沈阳市质量监测(一))已知m，n是空间中的两条不同的直线，α，β是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若α∥β，m∥α，则m∥β C．若m⊥n，n?α，则m⊥α D．若m⊥α，m?β，则α⊥β
解析：选D.对于选项A，m∥n，m∥α，则n∥α或n?α，A错；对于选项B，α∥β，m∥α，则m∥β或m?β，B错；对于选项C，m⊥n，n?α，不能推出m⊥α，C错；对于选项D，面面垂直的判定定理，正确．故选D.
3．(2019·高考北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题．
命题(1)：若l⊥m，m∥α，则l⊥α，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD为平面α，A1D1和A1B1分别为l和m，满足条件，但结论不成立．
命题(2)：若l⊥m，l⊥α，则m∥α，此命题正确．证明：作直线m1∥m，且与l相交，