高考数学（理）专题练习（八）
等价转化法（讲）
1．由等与不等引起的转化
?1??1?例1．已知f?x?，g?x?分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f?x?＋g?x?＝??．若存在x0??,1?，
?2??2?使得等式af?x0?＋g?2x0??0成立，则实数a的取值范围是________．
例2．已知关于x的方程e?|x|?kx?1?0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 2．由特殊与一般引起的转化 例3．设函数f(x)?xx(x?0)，观察： 2x?2x， 2x?2xf2(x)?f(f1(x))?，
6x?4xf3(x)?f(f2(x))?，
14x?8xf4(x)?f(f3(x))?，
30x?16f1(x)?f(x)?……，
根据以上事实，当n?N?时，由归纳推理可得：fn(1)=_____________． 3．由正与反引起的转化
例4．若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是A．至少选一个海滨城市 C．至多选一个海滨城市
B．恰好选一个海滨城市 D．两个都选海滨城市
7的事件是（ ） 10例5．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为____________（结果用数值表示）． 4．由空间与平面引起的转化
例6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
28π，则它的表面积是（ ） 3A．17π B．18π
C．20π D．28π
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a，?BAD?135?，AE?BC于例7．如图①所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，且AD?BC?点E，F为BE的中点．将△ABE沿着AE折起至△AB?E的位置，得到如图②所示的四棱锥B??ADCE．
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（1）求证：AF∥平面B?CD；
（2）若平面AB?E⊥平面AECD，求二面角B??CD?E的余弦值． 5．由数与形引起的转化
x?m?|x|,例8．已知函数f(x)??2其中m?0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个
x?2mx?4m,x?m?不同的根，则m的取值范围是________________．
22B两点，B分别做l的垂线x与轴交于C，例9．已知直线l：mx?y?3m?0与圆x?y?12交于A，过A，
D两点，若AB?23，则CD?__________________．
22例10．已知点A(1,0)，点P是圆C：(x?1)?y?8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于
点E．
（Ⅰ）求点E的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线y?kx?m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
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高考数学（理）专题练习（八）
等价转化法（讲）
答 案
?52?例1．?22,?
2??例2．(?1,0)例3．
(0,1)
1 n3?2?1例4．C 例5．120 例6．A 例7．解：
（1）取B?C的中点G，连结FG，DG．
F为B?E的中点，
?FG∥EC，且FG?1EC， 213图①中四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，且AD?BC?a，AE?BC，∠BAD?135?，
?EC?2a，AD∥EC，AD?1EC， 2?AD∥FG，AD?FG，
?四边形ADGF为平行四边形，
?AF∥DG，
AF?平面B?CD，DG?平面B?CD，
?AF∥平面B?CD．
（2）易证EA，EB?，EC两两垂直，故以点E为原点，EB?为x轴，EC为y轴，EA为轴z，建立空间直角坐标系，
?B?(a,0,0)，D(0,a,a)，C(0,2a,0)，
所以B?C?(?a,2a,0)，CD?(0,?a,a)，设平面B?CD的法向量为n?(x,y,z)．
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