2019人教A版数学必修一第1章《集合与函数概念》（2.2《函数的
表示法》第3课时）示范教案
导入新课
思路1.复习初中常见的对应关系
1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应.
2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应. 3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应.
4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应. 5.函数的概念.
我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射(板书课题).
思路2.前面学习了函数的概念是:一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应. (1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应. (2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应. (3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应. 那么这些对应又有什么特点呢？ 这种对应称为映射.引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题
①给出以下对应关系:
图1-2-2-20
这三个对应关系有什么共同特点？
②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义？ ③“都有唯一”是什么意思？ ④函数与映射有什么关系？ 讨论结果：①集合A、B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.
②一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.
如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象.
③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一
或多对一.
④函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 应用示例
思路1
1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.
活动：学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义. (1)中数轴上的点对应着唯一的实数;
(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对; (3)中每一个三角形都有唯一的内切圆;
(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生. 解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;
(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义. 变式训练
1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？
图1-2-2-21
答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.
2.在图1-2-2-22中的映射中,A中元素60°的对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素
2对应？ 2
图1-2-2-22
答案：A中元素60°的对应的元素是
32,在A中的元素45°与B中元素对应. 22思路2
1.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么？ (1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”; (2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”; (3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;
(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.
活动：学生回顾映射的对应,教师适时点拨或提示.判断一个对应是否是映射,关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.
解：(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应. (2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.
(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.
(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.
点评：本题主要考查映射的概念.给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”,“一对一”,“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射. 变式训练
1.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( )
A.对集合A中的数开平方 B.对集合A中的数取倒数
C.对集合A中的数取算术平方根 D.对集合A中的数立方
分析:当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A、C错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D. 答案：D
2.设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求: (1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;
(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应？
分析:这是一个映射的问题,由于A中元素(x,y)对应B中元素为(x-y,x+y),确定了对应法则,转化为解方程组.
解：(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2), 即(-3,1).
(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应, 则??x-y?-1,
?x?y?2,