第1讲 直线与圆
专题强化训练
12
1．(2019·杭州二中月考)已知直线3x－y＋1＝0的倾斜角为α，则sin 2α＋cosα＝
2( )
2111A. B．－ C. D．－ 55420
1sin αcos α＋cosα2
解析：选A.由题设知k＝tan α＝3，于是sin 2α＋cosα＝＝22
2cosα＋sinαtan α＋142
＝＝. 21＋tanα105
2．(2019·义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|＋|MQ|＝( )
A.
10 2
B.10 D．10
2
2
2
C．5
解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点
Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.
3．(2019·杭州七市联考)已知圆C：(x－1)＋y＝r(r＞0)．设条件p：0＜r＜3，条件
2
2
2
q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
2
2
2
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.圆C：(x－1)＋y＝r(r＞0)，圆心(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－0＋3|
＝2.由条件q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，可得0＜r2＜3.则p是q的充要条件．故选C.
4．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：y＝kx＋1与圆C：x＋y＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1 C．－1
B．2 D．0
2
2
1|k×0－0＋1|
解析：选D.由题意知圆心到直线l的距离等于r＝1(r为圆C的半径)，所以
2k2＋1＝1，解得k＝0.
5．(2019·兰州市诊断考试)已知圆C：(x－3)＋(y－1)＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( )
2
2
- 1 -
A．(0，2] C．[2，3]
B．[1，2] D．[1，3]
→→
解析：选D.依题意，设点P(3＋cos θ，1＋sin θ)，因为∠APB＝90°，所以AP·BP＝0，所以(3＋cos θ＋t)(3＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)＝0，得t＝5＋23cos θ＋2sin
2
θ＝5＋4sin(θ＋)，因为sin(θ＋)∈[－1，1]，所以t∈[1，9]，因为t>0，所以t∈[1，
2
2
π
3π3
3]．
6．圆C：x＋y＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为( )
A．－4 B．4 C．－8 D．8
2
2
??解析：选C.圆心C?－，－?.
2??2
?4×?－D?－3×?－E?＋3?
??2??2????????
4＋（－3）
2
2
DE由题意得＝1，
即|4D－3E－6|＝10，①
在圆C：x＋y＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x＋Dx－3＝0. 设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3. 由|MN|＝4得|x1－x2|＝4， 即(x1＋x2)－4x1x2＝16， (－D)－4×(－3)＝16. 由D<0，所以D＝－2.
将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10， 4
所以E＝－8或E＝－(舍去)．
3
1
7．动点A与两个定点B(－1，0)，C(5，0)的距离之比为，则△ABC面积的最大值为( )
2A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选D.设A点坐标为(x，y)． |AB|1因为＝，
|AC|2
所以2（x＋1）＋y＝（x－5）＋y， 化简得x＋y＋6x－7＝0， 即(x＋3)＋y＝16.
所以A的轨迹表示以(－3，0)为圆心，半径为4的圆．
2
2
2
2
22222
22
2
2
- 2 -
所以△ABC面积的最大值为
Smax＝|BC|·r＝×6×4＝12.
x＋y≤4，??
8．(2019·浙江省名校联盟质量检测)已知点P的坐标(x，y)满足?y≥x，过点P的直
??x≥1，
线l与圆C：x＋y＝14相交于A、B两点，则|AB|的最小值是( )
A．26 B．4 C.6 D．2
解析：选B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求|AB|的最小值等价于求d的最大值，
2
2
1
212
易知dmax＝1＋3＝10， 此时|AB|min＝214－10＝4， 故选B.
2
2
?1?22
9．过点M?，1?的直线l与圆C：(x－1)＋y＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最
?2?
小时，直线l的方程为________．
1－0
解析：易知当CM⊥AB时，∠ACB最小，直线CM的斜率为kCM＝＝－2，从而直线l的
1－12－111?1?
斜率为kl＝＝，其方程为y－1＝?x－?.即2x－4y＋3＝0.
kCM22?2?
答案：2x－4y＋3＝0
10．已知圆C1：x＋y－2mx＋4y＋m－5＝0与圆C2：x＋y＋2x－2my＋m－3＝0，若圆
2
2
2
2
2
2
C1与圆C2相外切，则实数m＝________.
解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)＋(y＋2)＝9，圆C2：(x＋1)＋(y－m)＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即（m＋1）＋（m＋2）＝5，则m＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．
答案：－5或2
11．已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- 3 -
的最大值为________．
解析：已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2，所以圆心为C(1，2)，半径r＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得|PC|
，所以|PC|＝22sin∠PAC≤22，故|PC|的最大值为22.
sin ∠PAC答案：22
12．(2019·台州调研)已知动圆C过A(4，0)，B(0，－2)两点，过点M(1，－2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为________．
1
解析：依题意得，动圆C的半径不小于|AB|＝5，即当圆C的面积最小时，AB是圆C2的一条直径，此时点C是线段AB的中点，即点C(2，－1)，又点M的坐标为(1，－2)，且|CM|＝（2－1）＋（－1＋2）＝2<5，所以点M位于圆C内，点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF|最小，其最小值为2（5）－（2）＝23.
答案：23
13．(2019·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M：xcos θ＋(y－2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．
解析：因为点(0，2)到直线系M：xcos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d＝
2
2
2
2
22
2
|AC|
＝
sin 30°
＝1，直线系M：xcos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)表示22
cosθ＋sinθ2
1
圆x＋(y－2)＝1的切线的集合，
①由于直线系表示圆x＋(y－2)＝1的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；
②存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故②正确； ③由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故③正确；
④如图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，
2
2
- 4 -