微分几何主要习题解答
第一章 曲线论 §2 向量函数
???? 5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) × r'(t)= 0。
分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。
证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固定方向，则e(t)为常向量，那么
?????????????????????r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。
?????????????2e'e'反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得r'=?'e+?，于是r×r'=?（e×）=0，则有 ?????? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方向平行；当??2?2?0时，有e×e'=0，而（e×e')2=ee'-
??????????2?2????-(e·e')＝e'，（因为e具有固定长， e·e'= 0） ，所以 e'=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。
6．向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是（rr'r''）=0 。
分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使r(t)·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。
证 若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且r(t)·n = 0 。两次求微商得r'·n
????????????????????????????r'r''r= 0 ，·n = 0 ，即向量r，，''垂直于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0 。
????????r'r''rr反之, 若（）=0，则有×r'=0 或r×r'??一固定平面，若r×r'??????r0。若×r'=0，由上题知r(t)具有固定方向，自然平行于
??????0，则存在数量函数?(t)、?(t)，使r''= ?r+?r' ①
????令n=r×r'，则n???????????????0，且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得n'=r×r''=?（r×r'）=?n，
??于是n×n'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)⊥n，即r(t)平行于固定平面。
§3 曲线的概念
1． 求圆柱螺线x=cost，y=sint，解 令cost=1,sint=0,
??z=t在（1,0,0）的切线和法平面。
t=0
得
t=0, r'(0)={ -sint,cost,1}|t?0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为
?x?1yz?? ，法平面为 y + z = 0 。 0111
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2． 求三次曲线r?{at,bt2,ct3}在点t0的切线和法平面。
23x?at0y?bt0z?ct0?2解 r'(t0)?{a,2bt0,3ct0}，切线为， ??2a2bt03ct0?223法平面为 a(x?at0)?2bt0(y?bt0)?3ct0(z?ct0)?0。
3. 证明圆柱螺线r={ a cos?,asin?,b?} (???????)的切线和z轴作固定角。
????r'?k证明 r'= {-asin? ,acos?,b},设切线与z轴夹角为?,则cos? =???|r||e|?（其中k为z轴的单位向量）。
t4. 求悬链线r={t，acosha}（-??t??）从t=0起计算的弧长。
ba?b22为常数，故?为定角
?解
t??2tttttr'= {1，sinha}，|r' | =1?sinha = cosha， ｓ＝?cosha 。 dt?asinha0９．求曲线x3?3a2y,2xz?a2在平面
y?a3
与y = 9a之间的弧长。
?a?x3a2解 曲线的向量表示为r＝{x,2,}，曲面与两平面y?3 与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , r'＝
3a2x23ax?x2a2x2a2a2x4a4{1,2,?2}，｜r'｜＝1??4＝2?2，所求弧长为s??(2?2)dx?9a 。
aa44xa2xa2xa2x?10. 将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。
?r解 '= { -asint,acost,b}，s =
??t0?|r'|dt?a2?b2t，所以t?sa?b22sa?b22，
代入原方程得 r={acossa?b22, asin,
bsa?b22}
11.求用极坐标方程???(?)给出的曲线的弧长表达式。 解 由x??(?)cos?，y??(?)sin?知
??r'={?'(?)cos?-?(?)sin?，?'(?)sin?+?(?)cos?}，|r'| =
??0?2(?)??'2(?)，从?0到?的曲线的弧长是s=?
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线x=acost，y=asint，解
?2(?)??'2(?)d? 。
z= bt在任意点的密切平面的方程。
??r'={ -asint,acost,b},r''={-acost,- asint,0 }
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所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x?acost?asint?acost
y?asintacost?asint?z?btb0 = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .
2. 求曲线r = { tsint,tcost,te } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。 解 原点对应t=0 ,
t?r'(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，
?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ，
所以切线方程是
xyz?? ，法面方程是 y + z = 0 ； 011x密切平面方程是0yz11=0 ，即x+y-z=0 ， 202主法线的方程是?y?x?y?z?0xz? ； 即?2?11?y?z?0xyz?? 。 11?1从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式
3．证明圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt的主法线和z轴垂直相交。
???????证 r'={ -asint,acost,b}, r''={-acost,- asint,0 } ，由r'⊥r''知r''为主法线的方向向量，而r''?k?0 所
以主法线与z轴垂直；主法线方程是
x?acosty?asintz?bt??
costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。
4.在曲线x = cos?cost ,y = cos?sint , z = tsin?的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 r'= {-cos?sint, cos?cost, sin? } ,
??r''={ -cos?cost,- cos?sint , 0 }
??r'?r''?????{sin?sint ,- sin?cost , cos? }
|r'?r''|?新曲线的方程为r={ cos?cost + sin?sint ，cos?sint- sin?cost ，tsin? + cos? }
??r对于新曲线'={-cos?sint+ sin?cost ，cos?cost+ sin?sint，sin? }={sin(?-t), cos(?-t), sin?} ,
?r''={ -cos(?-t), sin(?-t),0} ,其密切平面的方程是
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