数学史上的十个著名不等式
在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式． 一、平均不等式（均值不等式）
设，，?，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．
当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．
当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．
设，，?，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当
时等号成立．
平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大
值和最小值即是其应用之一．
设，，?，是个正的变数，则
（1）当积是定值时，和有最小值，且
；
（2）当和是定值时，积有最大值，且
两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即最小值．
时，才能取得最大值或
在中，当时，分别有
，
平均不等式成立；
经常用到的几个特例是（下面出现的时等号
（3）成立；
，当且仅当时等号
（4），当且仅当时等号成立．
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
对任意两组实数，，?，；，，?，，有
，其中等号当且仅当
时成立．
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，?，数）是：
；，?，都表示实
（1），，则
（2）
（3）
柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不
等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位． 三、闵可夫斯基不等式
设，，?，；，，?，是两组正数，，则
（ ）
（ ）
当且仅当时等号成立．
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当的三角形不等式：
时得平面上
右图给出了对上式的一个直观理解．
若记，，则上式为
四、贝努利不等式
（1）设
，且同号，则
（2）设 时，有
，则（ⅰ）当时，有
时等号成立．
；（ⅱ）当或
，上两式当且仅当
不等式（1）的一个重要特例是 五、赫尔德不等式
（ ）．
已知（ ）是个正实数，，则
上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．
六、契比雪夫不等式
（1）若，则
；
（2）若，则
下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．
如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面
积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上
翻折比较即知）．于是有
，也即
七、排序不等式
设有两组数，，?，；，，?，满足则有
，，?，是1，2，?，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或
时成立．
，
，式中的
以上排序不等式也可简记为：
反序和乱序和同序和
这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解． 八、含有绝对值的不等式
为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，
右边的等号仅当是
的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式
，
也可记为
绝对值不等式在实数的条件下用得较多。