微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题

For personal use only in study and research; not for commercial use

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章

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一、选择题

1. 微分方程y??2xy的通解为 ( A. y?ex2?C; B. y?Cex2;

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C. y?eCx2; D. y?Cex.

2. 函数y?c1e2x?c2是微分方程y???y??2y?0的 ( A. 通解; B. 特解;

C. 不是解; D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.

3. 设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该方程的通解是 ( A. C1y1?C2y2?y3; B. C1y1?C2y2?(C1?C2)y3; C. C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3; D. C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. 4. 微分方程xy??y?x2?y2是 ( A. 可分离变量的微分方程; B. 齐次微分方程;

C. 一阶线性齐次微分方程; D. 一阶线性非齐次微分方程.

二、填空题

1. 微分方程xy??ylny的通解是 . 2. 方程y??y2sinx的奇解为_______________.

) )

3. 微分方程3x2?5x?5y??0的通解是 .

d2sds4. 微分方程42?20?25s?0的通解为 .

dtdt

三、解答题

1. 求微分方程

dy?2xy的通解. dx2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解. (1)

5dyysinx??,y(?)?1; (2)y??2y?ex?x,y(0)?.

4dxxx3. 解方程:y????e2x?cosx.

dy?3y?8满足初始条件ydx5. 求微分方程y???4y?e2x的通解.

4. 求方程

2xx?0?2的特解.

6. 求微分方程y???5y??6y?xe的通解. 7.设函数y?(1?x)2u(x)是方程y??8. 求下列贝努利方程的通解.

2y?(x?1)3的通解,求u(x).x?1

y?y2?0. 1?x(1)2x2y'?xy?x4y3?0; (2)y??9. 求齐次方程(y?2xy)dx?(x?2xy)dy的通解.

10. 求解下列初值问题: y???(y?)?1,y(0)?0,y?(0)?0. 11. 求微分方程xy''?xy'?1 通解. 12. 求下列方程的通解.

2222(1)y???4y??5y?0; (2)y???4y??5?0; (3)y???4y??4y?xe; (4)y???y??2y?8sin2x.

22x2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章参考答案

一、选择题

1. B; 2. D; 3. D; 4. B; 二、填空题

t1312Cx21.y?e; 2.y?0; 3.y?x?x?C; 4. s?(C1?C2t)e.

525三、解答题

1.解 原方程为分离变量的微分方程,

分离变量可得

dy?2xdx, y 两边积分:

dy2?y??2xdx,得lny?x?C1,其中C1为任意常数,

x2整理有:y?Ce,其中C为任意常数. 2.解: (1)该方程的通解为 y?e?lnx[ =y?e??xdx1sinx?xdx[?edx?C]

x1sinxlnx11edx?C](sinxdx?C)(?cosx?C), ==?x?xx又y(?)?1,得C???1,故满足条件y(?)?1的特解为

1(?cosx???1). x?2dx2dx11x?Ce2x?ex?x?, (2)y?[C??(e?x)e?dx]e?245112xx将y(0)?代人,得C?2,故所求特解为y?2e?e?x?.

42412x3. 解:对所给方程接连积分三次得,y???e?sinx?C1,

211Cy??e2x?cosx?Cx?C2,y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3 (C1?).

482y?4. 解:原方程可变形为

dydy?8?3y,分离变量可得?dx, dx8?3y8, 3?3x?两边积分:ln3y?8??3x?C1,其中C1为任意常数,所以y?Ce

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