6－8 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2.求：(1)各区域电势分布，并画出分布曲线；(2)两球面间的电势差为多少？
分析 通常可采用两种方法(1)由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由Vp??pE?dl可求得电势分布.(2)利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为
V?Q 4πε0r?在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势
V?Q 4πε0R其中R是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布. 解1 (1)由高斯定理可求得电场分布
?r?R1?E1?0 E2?E3??Q1?R1?r?R2? er 4πε0r2Q1?Q2?r?R2?er 24πε0r由电势V??rE?dl可求得各区域的电势分布. 当r≤R1时，有
V1??E1?dl??E2?dl??E3?dlrR1R2R1R2??11?Q1?Q2??RR??4πεR2?02?1Q1Q2??4πε0R14πε0R2?0?Q14πε0
当R1≤r≤R2时，有
V2??E2?dl??E3?dlrR2R2??11?Q1?Q2?r?R??4πεR
2?02?Q1Q2??4πε0r4πε0R2?Q14πε0当r≥R2时，有
V3??E3?dl?r?Q1?Q2 4πε0r(2)两个球面间的电势差
U12??E2?dl?R1R2Q1?11????? 4πε0?RR2??1解2 (1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，
即r≤R1，则
V1?Q1Q2 ?4πε0R14πε0R2若该点位于两个球面之间，即R1≤r≤R2，则
V2?Q1Q2 ?4πε0r4πε0R2若该点位于两个球面之外，即r≥R2，则
V3?Q1?Q2 4πε0r(2)两个球面间的电势差
U12??V1?V2?r?R2?Q1Q1? 4πε0R14πε0R2
6－9 一圆盘半径R＝3.00×10－2m.圆盘均匀带电，电荷面密度σ＝2.00×10－5C·m－2.(1)求轴线上的电势分布；(2)根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；(3)计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度.
分析 将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布. 解 (1)带电圆环激发的电势
dV?1ζ2πrdr 224πε0r?x由电势叠加，轴线上任一点P的电势的
ζV?2ε0?Rrdrr2?x20?ζ2ε0?R?x?x? (1)
22 (2)轴线上任一点的电场强度为
E??dVζi?dx2ε0??1???i (2) 22?R?x?x电场强度方向沿x轴方向.
(3)将场点至盘心的距离x＝30.0cm分别代入式(1)和式(2)，得
V?1691V
E?5607V?m-1
当x＞＞R时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为q?πR2ζ?5.65?10?8C.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有
V?q?1695V 4πε0xE?q?5649V?m-1 24πε0x由此可见，当x＞＞R时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E 和V 的误差分别不超过0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.
6－10 在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109Ｖ，被迁移的电荷约为30C.(1)如果释放出来的能量都用来使0℃的冰融化成0℃的水，则可溶解多少冰？(冰的融化热L＝3.34×105J· kg)(2)假设每一个家庭一年消耗的能量为300kW·h，则可为多少个家庭提供一年的能量消耗？
解 (1)若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收，故可融化冰的质量
m?ΔEqU??8.98?104Kg LL即可融化约 90 吨冰.
(2)一个家庭一年消耗的能量为
E0?3000kW?h?1.08?1010J
n?ΔEqU??2.8 E0E0一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年消耗
的电能.