二次函数压轴题分类精选---取值范围

1.已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C,与x轴正半轴的交点为A,且tan∠ACO=

(1)求二次函数的解析式;

(2)P为二次函数图象的顶点,Q为其对称轴上的一点,QC平分∠PQO,求Q点坐标;

(3)是否存在实数x1、x2(x1<x2),当x1≤x≤x2时,y的取值范围为若存在,直接写出x1,x2的值;若不存在,说明理由.

≤y≤

【分析】(1)首先根据tan∠ACO=,求出OA的值,即可判断出A点的坐标;然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4,求出b的值,即可判断出二次函数的解析式. (2)首先根据Q为抛物线对称轴上的一点,设点Q的坐标为(﹣,n);然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ,可得∠OQC=∠OCQ,所以OQ=OC,据此求出n的值,进而判断出Q点坐标即可.

(3)根据题意,分3种情况:①当x1≤x2≤﹣时;②当x1≤﹣≤x2时;③当﹣<x1≤x2时;然后根据二次函数的最值的求法,求出满足题意的实数x1、x2(x1<x2),使得当x1≤x≤x2时,y的取值范围为【解答】解:(1)如图1,连接AC,

≤y≤

即可.

∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C, ∴C点的坐标为(0,﹣4), ∵tan∠ACO=, ∴

又∵OC=4, ∴OA=1,

∴A点的坐标为(1,0), 把A(1,0)代入y=x2+bx﹣4, 可得0=1+b﹣4, 解得b=3,

∴二次函数的解析式是:y=x2+3x﹣4.

(2)如图2,

∵y=x2+3x﹣4,

∴抛物线的对称轴是:x=﹣, ∵Q为抛物线对称轴上的一点, ∴设点Q的坐标为(﹣,n), ∵抛物线的对称轴平行于y轴, ∴∠CQP=∠OCQ, 又∵∠OQC=∠CQP, ∴∠OQC=∠OCQ, ∴OQ=OC, ∴∴解得n=±

, ,

)或(﹣,﹣

).

∴Q点坐标是(﹣,

(3)①当x1≤x2≤﹣时,二次函数y=x2+3x﹣4单调递减, ∵y的取值范围为

≤y≤

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