4-1-3巧求周长.题库教师版

巧求周长

例题精讲

基本概念

①周长:封闭图形一周的长度就是这个图形的周长.

②面积:物体的表面或封闭图形的大小,叫做它们的面积. 基本公式:

①长方形的周长?2?(长?宽),面积?长?宽.

②正方形的周长?4?边长,正方形的面积?边长?边长. 常用方法:

对于基本的长方形和正方形图形,可以直接用公式求出它们的周长和面积,对于一些不规则的比较复杂的几何图形,我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形,利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解.

转化是一种重要的数学思想方法,在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分.转化后的图形虽然形状变了,但其周长和面积不应该改变,所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积.转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形.

寻求正确有效的解题思路,意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径.因此,我们在解决数学问题时,思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题.也就是说,在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时,我们往往转化问题的形式,从侧面或反面寻找突破口,知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题.这种解决问题的思想在数学中叫“化归”,它是数学思维中重要的思想和方法.

原有图形结构

在原有图形结构中解决问题较困难 对称 旋转 平移 新的图形结构

在新的图形结构中解决问题较容易 在几何中,有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的.这样的图形我们称为不规则图形.不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算.那么,不规则图形的面积怎样去计算呢?对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段.

平移:在平面图形的计算中,常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算.其中,将图形沿一个固定方向的移动叫做平移,一个图形经过平行移动不改变其形状与大小,所以图形面积是保持不变的.利用图形的平移,可以使面积计算问题的解法简捷明快,颇有新意. 割补:割补法在我国古代叫“出入相补原理”,我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补,各从其类”的出入相补原理.这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形,它的面积不变.

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旋转:在平面图形的割补中,有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置,产生一种新的图形结构,图形在转动过程中形状大小不发生改变.利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题. 对称:平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形.轴对称图形沿对称轴折叠,轴两侧可以完全重合.也就是说,如果一个图形是轴对称图形,那么对称轴平分这个图形的面积.熟悉轴对称图形这个性质,对面积计算会有很大帮助.

代换:在几何计算中,对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧.

本讲主要通过求一些不规则图形的周长,体会一种转化思想,重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法,包括平移、旋转、割补、差不变原理,通过这些方法的学习,让学生体会求周长的技巧,提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力.

【例 1】 求图中所有线段的总长(单位:厘米)

4AB3C1D2E

【解析】 要注意到,题目所求的是图中所有线段的总长,而图中的线段,并不仅仅是

四段,还包括

等等,因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和.同时应该注意到,

;,等等.因此,为了计算图中所有线

段的总长,需要先计算AB、BC、CD、DE这四条线段分别被累加了几次. 这里,可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论:

由1段组成的线段共有4条,即AB、BC、CD、DE,而求和过程中AB、BC、CD、DE这四条线段各被累加了1次.

类似地考虑到,由2段组成的线段共有3条,求和过程中AB、DE各被累加了1次,BC、CD各被累加了2次.

由3段组成的线段共有2条,求和过程中AB、DE各被累加了1次,BC、CD各被累加了2次. 由4段组成的线段只有AE,其中AB、BC、CD、DE各被计算了1次. 综上所述,AB、DE各被计算了4次,BC、CD各被计算了6次. 因而图中所有线段的总长度为:

【例 2】 如图所示,一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形,各条线段长度见图(单位:厘米).求:

图中所有长方形的周长之和.

243【解析】 类似于上题,题目中所说的长方形,并不只包括最小的几个长方形,因此需要先求出每条线段在求

和过程中被累加了多少次.

因为没从大长方形的长上找到一条线段,就能对应地找到大长方形内的一个长方形,所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题.当然,要考虑到,每个长方形都有两条长和两条宽,因此计算过程中应该注意不要漏算.

先考虑大长方形的长上各边:应用上一道题目的结论,每条边上长为4、3、1、2的线段分别被计算了4、6、6、4次.

然后再考虑大长方形的宽:因为共有个长方形,所以长度为2的宽被计算了

次.

故总周长可以用下式计算得到:

【例 3】 如图,正方形的边长为4,被分割成如下12个小长方形,求这12个小长方形的所有周长之和.

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ABCBEACBE

124?4?4?5?2?56. 【解析】

【巩固】(“希望杯”第一试)如右图,正方形ABCD的边长是6厘米,过正方形内的任意两点画直线,可把

正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是多少厘米?

AD

【解析】 从总体考虑,在求这9个小长方形的周长之和时,AB、BC、CD、DA这四条边被用了1次,其余

四条虚线被用了2次,所以9个小长方形的周长之和是:6?4?6?2?4?72(厘米)。

【例 4】 下图表示一块地,四周都用篱笆围起来,转弯处都是直角.已知西边篱笆长17米,南边篱笆长23米.四周篱笆长多少米?

北BCA西17北DC东B西1723南东

【解析】 因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角,可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段AD,

将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段BD,则折线ACB的长等于折线ADB的长. 所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等.列式为:

(23?17)?2?80(米) 四周篱笆长为:

【巩固】(希望杯培训题)右图的周长是 分米.

23南7分米6分米

【解析】 把那些与水平方向平行的小线段都”放”下来,恰好与底边一致;把竖直方向的小线段都依次”贴

到”左边,恰好贴满左边,因此多有的短横线的长的和为6分米,所有的短竖线的长的和为7分米,

(6?7)?2?26(分米) 图形的周长为

【巩固】计算右边图形的周长(单位:厘米)。

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