高考数学考纲与考试说明解读

2.题型及难易度

选择题或填空题.难度:中等或偏上.

2求函数定义域常见结论:(1)分式的分母不为零;

(2)偶次根式的被开方数不小于零;(3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1; (5)正切函数y=tan x,x≠kπ+ (k∈Z); (6)零次幂的底数不能为零;

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求.

题型3、函数、方程、不等式及导数的综合应用 例3(2013理科)若函数

=

的最大值是______. 16

的图像关于直线

x??2对称,则

1)?(f3?)a8??f(??法一:???导数求最值问题?f1()?(f5)?b15???法二:f(x?2)?(?x2?4x?3)(x2?4x?3)?16x2?(x2?3)2?g(t)?16t?(t?3)??t?10t?9,?g(t)max?g(5)?1622

知识点:函数的奇偶性、对称性和导数的应用

数学思想:考查转化、数形结合 体现了多角度、多维度、多层次

题型4 函数、方程、不等式及导数的综合应用 例4、已知函数f(x) =x﹣1﹣alnx. (1)若f(x)?0 ,求a的值;

(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+1211)(1+)﹤m,求m的最小值. 222n?1??2?12解:(1)f?x?的定义域为?0,+??.①若a?0,因为f??=-+aln2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f'x?

??1?ax?a?知,当x??0,a?时,f'?x?<0;当x??a,+??xx

时,f'?x?>0,所以f?x?在?0,a?单调递减,在?a,+??单调递增,故x=a是f?x?在

x??0,+??的唯一最小值点. 由于f?1??0,所以当且仅当a=1时,f?x??0.

故a=1

(2)由(1)知当x??1,+??时,x?1?lnx>0 令x=1+1?1?1得ln?1+n?<n,从而 2n?2?211?11<++???+=1-<1 ?2nn22?22?1??1??1ln?1+?+ln?1+2?+???+ln?1+n?2??2??2故?1+??1+??1??2??1??1?????1+22??2n??<e? 而?1+??1+??1??2??1??1?1+3?>2,所以m的最小值为3. 2??2??2?

(6)复习重点

函数作为几大主干知识之一,其主体知识包括

1个工具:导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式; 1个定理:零点存在性定理; 1个关系:函数的零点是方程的根; 2个变换:图象的平移变换和伸缩变换; 2大种类:基本初等代数函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)和基本初等函数的复合函数(对勾函数、双曲函数、分段函数和其它函数);

2个最值:可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值; 2个意义:导数的几何意义和定积分的几何意义; 3个要素:定义域、值域、解析式;

3个二次:二次函数、二次方程、二次不等式;

5个性质:单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性.

关注二阶导数在研究函数中的拓展应用 虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用,但将函数的导数表示为新的函数,并继续研究函数的性质的试题比比皆是.因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用,但要注意过程性的学习,而不是定理的记忆.

全国(2)卷文设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x?0时,f(x)?ax+1,求a的取值范围. (2)∵x?0时,f?x??ax?1,∴1?x2ex?ax?1 ∴x2ex?ex?ax?1?0,令h?x??x2ex?ex?ax?1, 即x??0,???时,h?x??0,而h?0??0 再令??x??h??x??x2ex?2xex?ex?a,???x??x2?4x?1ex x?0时,???x??0恒成立. ∴h??x?在?0,???是增函数 ????① 当a?1时,恒有h??x??h??0??0,从而在?0,???恒成立 h?x?是增函数,h?0??0h?x??0, ② 当a1时,h??x?在?0,???是增函数,h??0?=a?10,?x00,使h??x0??0,所用当x??0,x0?时h??x?0,从而在?0,???不恒成立

h?x?是减函数,h?0??0,h?x??0,所以h?x??0 故a?1即为所求.

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