第3讲 导数及其应用
考情解读 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性． 3．函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值． 4．定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质：
b①?bakf(x)dx＝k?af(x)dx；
b②?bf2(x)]dx＝?af1(x)dx±?ba[f1(x)±af2(x)dx； cb③?baf(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx(其中a (2)微积分基本定理： 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?baf(x)dx＝F(b)－F(a). 热点一 导数的运算和几何意义 例1 (1)(2014·广东)曲线y＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________． 5 (2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公2共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________． 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出． 答案 (1)5x＋y－3＝0 (2)4 解析 (1)因为y′＝e所以y′|x＝0＝－5， 故切线方程为y－3＝－5(x－0)， 即5x＋y－3＝0. 1 (2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax2C2在A处的切线的斜率为－＝0，kOAx0－， y0 又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直， x03 所以(－)·3a20＝－1，即y0＝3ax0， y03又ax30＝y0－1，所以y0＝， 251代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±， 22 13 将x0＝±，y0＝代入y＝ax3＋1(a>0)，得a＝4. 22 思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解． ππ (1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′()＋sin x，则f′()＝________. 33 π (2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于 2________． 答案 (1) 3 (2)2 6－4π －5x (－5x)′＝－5e －5x ， ππ 解析 (1)因为f(x)＝x2f′()＋sin x，所以f′(x)＝2xf′()＋cos x． 33 πππππ3 所以f′()＝2×f′()＋cos.所以f′()＝. 333336－4ππ (2)f′(x)＝sin x＋xcos x，f′()＝1， 2 π 即函数f(x)＝xsin x＋1在点x＝处的切线的斜率是1， 2a 直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－， 2a 所以(－)×1＝－1，解得a＝2. 2热点二 利用导数研究函数的性质 例2 已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值． 思维启迪 (1)直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到． 解 (1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝－a－1. 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，－a－1) － －a－1 0 (－a－1，＋∞) ＋ 故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)； 单调增区间为(－a－1，＋∞)． (2)由(1)得，f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)； 单调增区间为(－a－1，＋∞)． 所以当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,4]上单调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(0)＝a； 当0<－a－1<4，即－5 故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(－a－1)＝－e －a－1 ； 当－a－1≥4，即a≤－5时，f(x)在[0,4]上单调递减， 故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4.