(浙江专版)2019年高中数学 课时跟踪检测(十六)空间向量运算的坐标表示 新人教A版选修2-1

C.

64 7

D.

65 7

解析:选D ∵a,b,c三向量共面,则存在不全为零的实数x,y,使c=xa+yb,即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),

2x-y=7,??

所以?-x+4y=5,

??3x-2y=λ.

33

x=,??7解得?17

y=??7.

65

∴λ=3x-2y=. 7

4.已知a=(3,2-x,x),b=(x,2,0),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( )

A.(-∞,-4) C.(0,4)

B.(-4,0) D.(4,+∞)

解析:选A ∵a,b的夹角为钝角,∴a·b<0,即3x+2(2-x)+0·x=4+x<0,∴x<-4.又当夹角为π时,存在λ<0,使a=λb,

3=λx,??

∴?2-x=2λ,??x=0,

此方程组无解,故选A.

5.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B?-则角A的大小为________.

解析:由题意,知AB=?-

?

?31?

,,2?,C(-1,0,2),22?

?

?31?

,,0?,AC=(-1,0,0),所以|AB|=1,|AC|22?

323AB·AC=1.则cos A===,故角A的大小为30°.

| AB||AC|1×12

答案:30°

6.已知M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),设在线段M1M2上的一点M满足M1M2=4MM2,则向量OM的坐标为________.

解析:设M(x,y,z),则M1M2=(1,-7,-2),

MM2=(3-x,-2-y,-5-z).

又∵M1M2=4MM2,

?

∴?-7=??-2=

?1=

-x,

-2-y,

-5-z,

??1

∴?y=-,

49?z=-?2.

x=,114

答案:?

?11,-1,-9?

?42??4

1

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是A1B1C1D1的中心,E1在B1C1上,并且B1E1=B1C1,求

3

BE1与CO1所成的角的余弦值.

解:不妨设AB=1,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,

?1?以AA1所在直线为z轴建立直角坐标系,则B(1,0,0),E1?1,,1?, ?3?

??C(1,1,0),O1?,,1?, 22

?

?

????BE1=?0,,1?,CO1=?-,-,1?,

?

?

?

????BE1·CO1=?0,,1?·?-,-,1?=,

?

| BE1|=

106

,|CO1|= . 32

5

6106× 32

15

. 6

13

1??2

12

5?6

13

1?2

12

11

∴cos〈BE1,CO1〉=

=即BE1与CO1所成角的余弦值为

15. 6

8.已知关于x的方程x-(t-2)x+t+3t+5=0有两个实根,且向量a=(-1,1,3),

2

2

b=(1,0,-2),c=a+tb.

(1)当|c|取最小值时,求t的值;

(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.

解:(1)∵关于x的方程x-(t-2)x+t+3t+5=0有两个实根, 422

∴Δ=(t-2)-4(t+3t+5)≥0,即-4≤t≤-.

3又c=a+tb=(-1+t,1,3-2t),

2

2

∴|c|=-1+t2

+1+

2

-2t2

?7?265?t-?+. ?5?5

4???7?26

∵当t∈?-4,-?时,关于t的函数y=5?t-?+是单调递减的,

3???5?54347

∴当t=-时,|c|取最小值. 33

17?4?7

(2)由(1),知当t=-时,c=?-,1,?,

3?3?3|b|=1+0+-∴cos

2

2

2

=5,|c|=347, 3

b,cb·c411 735

=-. |b|·|c|1 735

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