【分析】根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形即可。
9.（山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ 【答案】解：（1）作点B关于x轴的对成点E，连接AE，则点E为（12，－7）。 设直线AE的函数关系式为y?kx?b，则
?2k?b=3 ?，解得 12k?b=7 ?∴当y=0时， x=5。
?k=1 。 ?b=5 ?所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。 （2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于
点G，设点G的坐标为（x，0）。
在Rt△AGD中，AG2=AD2＋DG2=32＋(x－2)2 在Rt△BCG中，BG2=BC2＋GC2=72＋(12－x)2
∵AG=BG， ∴32＋(x－2)2=72＋(12－x)2 ， 解得 x=9。
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。
【考点】对称的性质，两点之间距离的性质，点的坐标与方程的关系，待定系数法，线段垂直平分线的性质，勾股定理。
【分析】（1）由两点之间线段最短的性质，利用对称的性质，作点B关于x轴的对成点E，连接AE，则AE与x轴的交点即为所求。根据点在直线上，点的的坐标满足方程的关系，设定直线AE：y?kx?b，由点A，E在直线上，则点A，E的坐标满足y?kx?b，从而得方程组，解之求得直线方程，再令y=0，即可求得。
（2）要使到张村、李村的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，只
要作线段AB的垂直平分线GF，则垂直平分线GF与线段AB的交点即为所求。在Rt△AGD和Rt△BCG中，分别应用勾股定理，联立得到方程，解之即得。
10.（广东省7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90o，∠C=30o．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8． （1）求∠BDF的度数； （2）求AB的长．
【答案】解：（1）∵BF=CF，∠C=30o，∴∠CBF=∠C=30o。 又∵?BEF是?BCF经折叠后得到的， ∴?BEF≌?BCF。∴∠EBF=∠CBF=30o。
又∵∠DFB=∠CBF+∠C=60o，∴∠BDF=1800—∠DFB—∠EBF=90o。 ∴∠BDF的度数是 90o。 （2）在Rt?BDF中，∠DBF=30o，BF=8， ∴BD?BF?cos?DBF?8cos300?8?3?43。 2 在Rt?ABD中，∠ABD=900—∠EBF—∠CBF=30o，BD?43， ∴AB?BD?cos?ABD?43cos300?43? ∴AB的长是6。
【考点】折叠对称的性质，三角形外角定理，三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角三角函数值。 【分析】（1）要求∠BDF的度数，由三角形内角和定理只要求出∠DFB和∠DBF即可，而∠DFB和∠DBF都可以由已知的∠C和折叠对称以及三角形外角定理求得。 （2）由（1）的结论，解Rt?BDF和Rt?BD即可求得。 11.（广东深圳8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长. 【答案】解：（1）证明：由对折和图形的对称性可知， CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°。
3?6。 2 在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝C′D，∠A＝∠C′。 在△ABG和△C’DG中，∵AB＝C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ， ∴△ABG≌△C′DG（AAS）。 ∴AG＝C′G。
（2）如图2，设EM＝x，AG＝y，则有： C′G＝y，DG＝8－y， DM=
1AD=4 。 2 在Rt△C’DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6， ∴C?G2?C?D2?DG2。
7725。∴C′G＝，DG＝。 4444xDMME7 又∵△DME∽△DC′G，∴， 即：?， 解得：x?。 ?67DC?C?G647 即：EM＝。
67 ∴所求的EM长为cm。
6 即：y2?62?(8?y)2。 解得： y?【考点】轴对称的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）要证AG=C′G，只要证明它们是全等三角形的对应边即可。由已知的矩形和轴对称性易证△ABG≌△C’DG。
（2）考虑Rt△DME和Rt△DC′G。△DC’G中DC′（=6）已知，DG=AD（=8）－AG， 而由（1）AG=C′G，从而应用勾股定理可求得C′G。而△DME中DM=DM=Rt△DME∽Rt△DC′G得到对应边的比相等可求EM的长。
12.（浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y?
1AD=4，从而由2k．在x
x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB
经轴对称变换后的像是O′B′．
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 ▲ ；
（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 ▲ ． 【答案】（4，0），4≤t≤25或﹣25≤t≤4。
【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，
线段OB经轴对称变换后的像是O′B′。AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形。 ∵B（2，0），∴BO=BP′=2。∴点P的坐标是（4，0）。
（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°。 ∴OM=
1t，OO′=t。 23311t，NO′=t。∴O′（t，t）。
2222过O′作O′N⊥x轴于N，∠OO′N=30°，∴ON=同法可求B′的坐标是（
t?2， , 3t?23）2设直线O′B′的解析式是y?kx?b，将O′、B′的坐标代入，得
??133k?t?23tk?b?t????222，解得：?。 ?t?2?b??3t2+33?k?b?3t?23???242??3?3233∴y??。 t?23x?t+??2?42??∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=23， ∴A（2，23），代入反比例函数的解析式得：k=43， ∴y?43，代入上式整理得：（23t﹣83）x2+（﹣3t2+63t）x﹣43=0， x△ =（﹣3t2+63t）2﹣4（23t﹣83）?（﹣43）≥0， 解得：t≤25或t≥﹣25。
∵当点O′与点A重合时，点P的坐标是（4，0）。 ∴4≤t≤25或﹣25≤t≤4。