位育中学2015学年第二学期监控考试试卷 高 二 数 学 2016.3.18
一、填空题(每题3分，共42分)
1． 复数z?(m?3m?4)?(m?5m?6)i为纯虚数，则实数m=_______4 2．3?4i的平方根为_______2?i或?2?i
3．如果a,b是异面直线，b,c也是异面直线，则直线a,c的位置关系是_______相交平行异面
4．计算：?221i111所得的结果为_______?i ????i2i3i2013325．在复数范围内分解因式：2x?x?x=_______2x(x?6．已知z为虚数，且z?1?7i1?7i)(x?) 444为实数，则|z|=_______2 z7．若|z|?z?1?5i，则z= _______12?5i
8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个 20
9．关于x的方程x?(k?3i)x?4?k?0(k?R)有实根的充要条件是_______k??4 10．设z1、z2是非零复数，且满足z1?z1z2?z2?0，则(_______?1
11．在空间四边形ABCD中，若AC?6，BD?10，E为边AB的中点，F为边CD的中点，且AC?BD，则线段EF的长为_______34
12．在复平面内，三点A,B,C分别对应复数zA,zB,zC，若三边长之比为_______3:4:5
13．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?222z1z2)2?()2=
z1?z2z1?z2zB?zA4?1?i，则?ABC的
zC?zA32，设AB的中点为F，则
A1F与DC1所成的角为_______arccos
3 314． 对于非零实数a,b，下列四个命题都成立：(1)a?2221?0；(2) 若|a|?|b|，则a??b；a2(3) (a?b)?a?2ab?b；(4)若a?ab，则a?b，那么，对于非零复数a,b，仍然
成立的命题的所有序号是_______(3)(4)
二、选择题（每题3分，共12分）
15．设z1、z2是两个复数，则“z1?z2?0”是“z1?z2”的 ( )B (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件
16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2) 三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3) 两两相交的三条直线一定共面；(4) 过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是 （ ）A
(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3
17．若a,b是所成角为60的两条异面直线，点O为空间一点，则过点O与a,b均成60角的直线有 （ ）C
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
18．设非零复数Z0为复平面上一定点，Z1为复平面上的动点，其轨迹方程为
??|Z1?Z0|?|Z1|，Z为复平面上另一个动点满足Z1Z??1，则Z在复平面上的轨迹形状
是
( )B
(A)一条直线 (B)以?11|为半径的圆 为圆心，|?Z0Z0 (C)焦距为2|1|的双曲线 (D)以上都不对 Z0三、解答题(共46分)
19．(8分)已知复数z1、z2满足|z1|?2，|z2|?3，3z1?2z2i?6，求z1、z2
?z1?1?3i?z1?1?3i??解：?或?333333
?i?z2???i?z2?2222??
20．(8分) 已知x1,x2是实系数方程x?x?p?0的两个根，若|x1?x2|?3，求实数p的值
解：由题意得：|x1?x2|?3， |(x1?x2)|?9
|(x1?x2)?4x1x2|?9， 韦达定理代入得|1?4p|?9 解得：p??2或p?222225 2D
21．(9分) 如图，四面体ABCD中，AB,BC,BD两两互相垂直，且
AB?BC?2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的大
小为arccos10，求线段BD的长 10解：取CD的中点F，连EF、BF
易得：EF//AD
故?FEB为异面直线AD与BE所成角
C
设BD?x，则AD?CD? BF?EF?B
E
A
x2?4
x2?4，而BE?2，由余弦定理，解得x?4 2即线段BD的长为4
22．(9分) 如图，平面?与平面?相交于直线a，直线b在平面?上，直线c在平面?上，且b?a?P，c//a，求证：直线b,c是异面直线 证明：假设直线b,c不是异面直线，即b,c共面
(1)若b//c，因为c//a，所以b//a 这与已知“b?a?P”矛盾 假设不成立
(2)若直线b与c相交，设b?c?Q，
α β
c a b P