1.2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝a(x－h)＋k的图象与性质
知|识|目|标
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1．通过回顾图象的平移，理解抛物线y＝ax平移到抛物线y＝a(x－h)和抛物线y＝a(x－h)2＋k的过程．
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2．运用描点法画二次函数y＝a(x－h)＋k的图象，并通过观察二次函数y＝a(x－h)＋k的图象归纳其性质．
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3．在回顾用待定系数法求一次函数的表达式的基础上，能根据抛物线y＝a(x－h)＋k的顶点坐标求二次函数的表达式.
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目标一 理解二次函数y＝ax与y＝a(x－h)＋k的图象之间的关系
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例1 教材补充例题已知二次函数y＝－2x，y＝－2(x－2)，y＝－2(x－2)＋2，请回答下列问题：
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(1)通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－2x得到抛物线y＝－2(x－2)和y＝－2(x－2)＋2?
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(2)如果要得到抛物线y＝－2(x－2017)－2018，应将抛物线y＝－2x怎样平移？这样的平移方法唯一吗？
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【归纳总结】抛物线y＝ax与y＝a(x－h)＋k之间的平移：
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(1)抛物线的平移规律可以总结为“左加右减自变量，上加下减常数项”，即抛物线y＝ax向左平移时，在自变量x中加上平移的单位数h，向右平移时，在自变量x中减去平移的单位数h; 向上平移时，在常数项中加上平移的单位数k，向下平移时，在常数项中减去平移的单位数k.
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(2) 抛物线y＝ax与y＝a(x－h)＋k之间的平移方法不是唯一的，既可以先左右平移，也可以先上下平移．
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(3) 由抛物线 y＝a(x－h)＋k平移得到抛物线y＝ax与由抛物线y＝ax平移得到抛物线y2
＝a(x－h)＋k的方法恰好相反． (4)由于抛物线平移后的形状不变，故二次项系数a不变，所以求平移后的抛物线的函数表达式通常有两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出函数表达式．
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目标二 理解二次函数y＝a(x－h)＋k的图象与性质
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例2 教材例4针对训练已知二次函数y＝(x－2)－4.
(1)在图1－2－2给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)求出图象的顶点坐标、对称轴与最值；
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(3)当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而增大？ 当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而减小？
(4)根据图象，写出当y＜0时x的取值范围．
图1－2－2
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【归纳总结】二次函数y＝a(x－h)＋k的图象与性质：
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(1)在二次函数y＝a(x－h)＋k中，a决定了图象的开口方向与开口大小，h决定了图象的对称轴，h，k决定了图象的顶点的位置．
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(2)从二次函数的表达式y＝a(x－h)＋k中，可以直接看出抛物线的顶点坐标(h，k)，对称
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轴，即直线x＝h，因此通常把表达式y＝a(x－h)＋k叫作二次函数的顶点式．
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(3)二次函数y＝a(x－h)＋k与y＝a(x－h)的增减性相同．
(4)求函数值y＜0时自变量x的取值范围的方法：①求出y＝0时x的值(即确定抛物线与x轴的交点坐标)；②找出x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围．
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目标三 能根据抛物线的顶点坐标求二次函数表达式y＝a(x－h)＋k
例3 教材例5针对训练已知二次函数图象的顶点为A(－1，4)，且过点B(2，－5)． (1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过坐标原点时，A，B两点随图象移至点A′，B′，求△OA′B′的面积．
【归纳总结】根据抛物线的顶点坐标求函数表达式的方法：
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(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－h)＋k(a≠0)；
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(2)将抛物线的顶点坐标与另一点的坐标或一组x，y的对应值代入，计算出a的值；
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(3)将所求的a值代入顶点式y＝a(x－h)＋k中，得到二次函数表达式．
知识点一 画二次函数y＝a(x－h)＋k的图象的步骤
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由于我们已经知道了二次函数y＝a(x－h)＋k的图象的性质，因此画二次函数y＝a(x－h)＋k的图象的步骤如下：
第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步：列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点)．
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知识点二 二次函数y＝a(x－h)＋k的图象与性质 y＝a(x－ 2h)＋k a的 取值 图象的 开口方向 图象的 对称轴 图象的 顶点坐标 函数值的 变化情况 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______ 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______ 22
a>0 向____ ________ ________ a<0 向____ ________ 2________ 知识点三 用平移法由二次函数y＝ax(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x－h)＋k(a≠0)的图象
二次函数图象平移的规律：左加右减(对x变化)，上加下减(对y变化)． 知识点四 已知抛物线的顶点及另一点的坐标求函数表达式
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我们把y＝a(x－h)＋k(a，h，k是常数，a≠0)叫作二次函数的顶点式，其中________为其图象的顶点坐标．已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标求函数表达式时，设函数表
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达式为y＝a(x－h)＋k计算较为简单．
[点拨] 符合用顶点式求函数表达式的情形：
①已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标； ②已知抛物线的对称轴及两点的坐标．
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