计量经济学精要习题参考答案(第四版)

结论:存在异方差性。 5.12 将模型变换为:

Yt??1Yt?1??2Yt?2??0(1??1??2)??1(Xt??1Xt?1??2Xt?2)??t(2)

若?1、?2为已知,则可直接估计(2)式。一般情况下,?1、?2为未知,因此需要先估计它们。首先用OLS法估计原模型(1)式,得到残差et,然后估计:

et??1et?1??2et?2??t

?1和??2生成 其中?t为误差项。用得到的?1和?2的估计值???1Yt?1???2Yt?2 Yt?Yt???1Xt?1???2Xt?2 Xt?Xt??令????0(1??1??2),用OLS法估计

??Yt????1Xt??t

?和??,从而得到原模型(1)的系数估计值??。 ?和?即可得到?101

5.13 (1)全国居民人均消费支出方程:

Ct= 90.93 + 0.692Yt R2=0.997

t: (11.45) (74.82) DW=1.15

DW=1.15,查表(n=19,k=1,α=5%)得dL=1.18。 DW=1.15<1.18

结论:存在正自相关。可对原模型进行如下变换: Ct -ρCt-1 = α(1-ρ)+β(Yt-ρYt-1)+(ut -ρut -1)

???1?DW/2有??=0.425 由?令:C?t= Ct –0.425Ct-1 , Y?t= Yt-0.425Yt-1 ,α’=0.575α 然后估计 C?t=α?+βY?t + εt ,结果如下:

?Ct?= 55.57 + 0.688Yt R2=0.994

t:(11.45) (74.82) DW=1.97

DW=1.97,查表(n=19,k=1,α=5%)得du=1.401。 DW=1.97>1.18,故模型已不存在自相关。 (2)农村居民人均消费支出模型:

农村:Crt= 106.41 + 0.60Yrt R2=0.979

t: (8.82) (28.42) DW=0.76

DW=0.76,查表(n=19,k=1,α=5%)得dL=1.18。

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?? DW=0.76<1.18,故存在自相关。 解决方法与(1)同,略。

(3)城镇:Cut= 106.41 + 0.71Yut R2=0.998 t: (13.74) (91.06) DW=2.02

DW=2.02,非常接近2,无自相关。

5.14 (1)用表中的数据回归,得到如下结果:

?? =54.19 + 0.061X1 + 1.98*X2 + 0.03X3 - 0.06X4 R2=0.91 Yt: (1.41) (1.58) (3.81) (1.14) (-1.78)

根据tc(α=0.05,n-k-1=26)=2.056,只有X2的系数显著。

(2)理论上看,有效灌溉面积、农作物总播种面积是农业总产值的重要正向影响因素。在一定范围内,随着有效灌溉面积、播种面积的增加,农业总产值会相应增加。受灾面积与农业总产值呈反向关系,也应有一定的影响。而从模型看,这些因素都没显著影响。这是为什么呢?

这是因为变量有效灌溉面积、施肥量与播种面积间有较强的相关性,所以方程存在多重共线性。现在我们看看各解释变量间的相关性,相关系数矩阵如下:

X1 X2 X3 X4 1 0.896 0.880 0.715 X1 0.896 1 0.895 0.685 X2 0.880 0.895 1 0.883 X3 0.715 0.685 0.883 1 X4

表中r12=0.896,r13=0.895,说明施肥量与有效灌溉面积和播种面积间高度相关。 我们可以通过对变量X2的变换来消除多重共线性。令X22=X2/X3(公斤/亩),这样就大大降低了施肥量与面积之间的相关性,用变量X22代替X2,对模型重新回归,结果如下:

? =-233.62 + 0.088X1 + 13.66*X2 + 0.096X3 - 0.099X4 R2=0.91 Yt: (-3.10) (2.48) (3.91) (4.77) (-3.19)

从回归结果的t值可以看出,现在各个变量都已通过显著性检验,说明多重共线性问题基本得到解决。

第六章 动态经济模型:自回归模型和分布滞后模型

6.1(1)错。使用横截面数据的模型就不是动态模型。 (2)对。

(3)错。估计量既不是无偏的,又不是一致的。 (4)对。

(5)错。将产生一致估计量,但是在小样本情况下,得到的估计量是有偏的。 (6)对。

6.2 对于科克模型和适应预期模型,应用OLS法不仅得不到无偏估计量,而且也得不到一致估计量。

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但是,部分调整模型不同,用OLS法直接估计部分调整模型,将产生一致估计值,虽然估计值通常是有偏的(在小样本情况下)。

6.3 科克方法简单地假定解释变量的各滞后值的系数(有时称为权数)按几何级数递减,即:

Yt =α+βXt +βλXt-1 +βλ2Xt-2 +…+ ut 其中 0<λ<1。

这实际上是假设无限滞后分布,由于0<λ<1, X的逐次滞后值对Y的影响是逐渐递减的。

而阿尔蒙方法的基本假设是,如果Y依赖于X的现期值和若干期滞后值,则权数由一个多项式分布给出。由于这个原因,阿尔蒙滞后也称为多项式分布滞后。即在分布滞后模型

Yt????0Xt??1Xt?1??????mXt?m?ut中,假定:

?i?a0?a1i?a2i2?????apip其中p为多项式的阶数。也就是用一个p阶多项式来拟合分布滞后,该多项式曲线通过滞后分布的所有点。

6.4 (1)估计的Y值是非随机变量X1和X2的线性函数,与扰动项v无关。 (2)与利维顿方法相比,本方法造成多重共线性的风险要小一些。 6.5(1)

Mt??0??1(1??1)Yt??1?2(1??1)Yt?1??2(1??2)Rt??2?1(1??2)Rt?1

?(?1??2)Mt?1?(?1?2)Mt?2?[ut?(?1??2)ut?1?(?1?2)ut?2]其中?0是?、?1和?2的函数。(2) 第(1)问中得到的模型高度参数非线性,它的参数需采用非线性回归技术来估计。 6.6

?i??0??1i??2i2

?0?0??0?0

?4?0??0?4?1?16?2?0??1??4?2因此,变换模型为:

Yt?????iXt?i?ut????(?0??1i??2i2)Xt?i?ut????(?0??1i??2i2)Xt?i?uti?0i?04i?044

????2[?4?iXt?i??iXt?i]?ut用此式可估计出

2?2,即可得到??1??4??2,然后可得到诸?的估计值。 ?和?6.7 (1)设备利用对通货膨胀的短期影响是Xt的系数:0.141;从长期看,在忽略扰动项

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的情况下,如果Yt趋向于某一均衡水平Y,则Xt和Xt-1也将趋向于某一均衡水平X:

Y??30.12?0.141X?0.236XY??30.12?0.377X即

所以,设备利用对通货膨胀的长期影响是Xt和Xt-1的系数之和:0.377。 (2)对模型的回归参数的显著性检验:

原假设:H0: β1 =0 备择假设:H1: β1 ?0

从回归结果可知,检验统计量t?1?2.60

根据n-k-1=15,a=5%,查临界值表得tc=2.131。 由于t=2.60> tc=2.131

故拒绝原假设,即Xt对y有显著影响。

原假设:H0: β2 =0 备择假设:H1: β2 ?0

从回归结果可知,检验统计量t?2?4.26

根据n-k-1=15,a=5%,查临界值表得tc=2.131。 由于t=4.26> tc=2.131

故拒绝原假设,即Xt-1对y有显著影响。

综上所述,所有的斜率系数均显著异于0,即设备利用和滞后一期的设备利用对通货膨胀都有显著的影响。

(3)对此回归方程而言,检验两个斜率系数为零,等于检验回归方程的显著性,可用F检验。

原假设:H0: β1 =β2 =0 备择假设:H1:原假设不成立 检验统计量

R2K0.727/2F???19.973

(1?R2)(n?K?1)(1?0.727)/(18?2?1)根据k=2,n-k-1=15,a=5%,查临界值表得Fc=3.68。 由于F=19.973>Fc=3.68

故拒绝原假设,即Xt、Xt-1至少有一个变量对y有显著影响,表明方程总体是显著的。 6.8模型的滞后周期m=3,模型有6个参数,用二次多项式进行拟合,即p=2,得

?Wi?a0?a1i?a2i2我们有:

?W0?a0

?W1?a0?a1?a2?W2?a0?2a1?4a2?W3?a0?3a1?9a2代入原模型,得

3

Yt??? i?0??WX?U????(a?ai?ai3it?it2012)Xt?i?Ut 19

i?0

333 2???aX?aiX?aiXt?i?Ut0t?i1t?i2

i?0i?0i?0令:Z0t=∑Xt-i , Z1t=∑iXt-i , Z2t=∑i2Xt-i

显然,Z0t ,Z1t和Z2t可以从现有观测数据中得出,使得我们可用OLS法估计下式:

???

估计出α,α0,α1, α2的值之后,我们可以转换为 βWi的估计值,公式为:

Yt???a0Z0t?a1Z1t?a22Z2t?ut

?0?a?1i?a?2iY* = βXe (1) ?Wi?a6.9 tt+1

Yt-Yt-1 = δ(Yt* - Yt-1) + u t (2)

Xt+1e - Xte = (1-λ)( Xt - Xte);t=1,2,…,n (3) 变换(3),得

Xt+1e = (1-λ)Xt +λXte (4)

因为Xt+1e无法表示成仅由可观测变量组成的表达式。但如果(4)式成立,则对于t期,它也成立,即:

Xte = (1-λ)Xt-1 +λXt-1e (5) (5)代入(4),得:

Xt+1e =(1-λ)Xt + (1-λ)λXt-1 +λ2Xt-1e (6) 我们可以用类似的方法,消掉(6)式中的Xt?1, 这一过程可无限重复下去,最后得到:

将(7)Xee?(1?λ)(Xt?λX?λ2X????)t?1t?1t?2(7)代入(1), 得:

(1')

变换(2)得:

Y*??(1?λ)(Xt?λX?λ2X????)t?1t?2tYt = δYt* - (1-δ)Yt-1 + u t (8)

将(1’)代入(8), 得:

Yt???(1??)(Xt??Xt?1取一期滞后,得:

??2X

t?2????)?(1??)Yt?1?ut(9)(9)式两端

(10)

Yt?1???(1??)(Xt?1??Xt?2(9)- λ(10),得:

??2Xt?3????)?(1??)Yt?2?ut?1Y??Yt?1???(1??)Xt?(1??)Y??(1??)Y?ut??ut?1tt?1t?2Y???(1??)Xt?(1????)Y??(1??)Y?ut??ut?1tt?1t?2(11)

整理得:

该式不能直接采用OLS法进行估计, 因为存在Yt-1、Yt-2等随机解释变量,它们与扰动项相关, 并且扰动项存在序列相关。若采用OLS法, 得到的估计量既不是无偏的, 也不是一致的。可采用工具变量法或极大似然法进行估计。

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