结论：存在异方差性。 5.12 将模型变换为：
Yt??1Yt?1??2Yt?2??0(1??1??2)??1(Xt??1Xt?1??2Xt?2)??t(2)
若?1、?2为已知，则可直接估计（2）式。一般情况下，?1、?2为未知，因此需要先估计它们。首先用OLS法估计原模型(1)式，得到残差et，然后估计：
et??1et?1??2et?2??t
?1和??2生成 其中?t为误差项。用得到的?1和?2的估计值???1Yt?1???2Yt?2 Yt?Yt???1Xt?1???2Xt?2 Xt?Xt??令????0(1??1??2)，用OLS法估计
??Yt????1Xt??t
?和??，从而得到原模型（1）的系数估计值??。 ?和?即可得到?101
5.13 （1）全国居民人均消费支出方程：
Ct= 90.93 + 0.692Yt R2=0.997
t： (11.45) (74.82) DW=1.15
DW=1.15，查表（n=19,k=1,α=5%）得dL=1.18。 DW=1.15＜1.18
结论：存在正自相关。可对原模型进行如下变换： Ct -ρCt-1 = α(1-ρ)+β(Yt-ρYt-1)+（ut -ρut -1）
???1?DW/2有??＝0.425 由?令：C?t= Ct –0.425Ct-1 ， Y?t= Yt-0.425Yt-1 ，α’=0.575α 然后估计 C?t=α?+βY?t + εt ，结果如下：
?Ct?= 55.57 + 0.688Yt R2=0.994
t：(11.45) (74.82) DW=1.97
DW=1.97，查表（n=19,k=1,α=5%）得du=1.401。 DW=1.97>1.18，故模型已不存在自相关。 （2）农村居民人均消费支出模型：
农村：Crt= 106.41 + 0.60Yrt R2=0.979
t： (8.82) (28.42) DW=0.76
DW=0.76，查表（n=19,k=1,α=5%）得dL=1.18。
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?? DW=0.76＜1.18，故存在自相关。 解决方法与（1）同，略。
（3）城镇：Cut= 106.41 + 0.71Yut R2=0.998 t： (13.74) (91.06) DW=2.02
DW=2.02，非常接近2，无自相关。
5.14 （1）用表中的数据回归，得到如下结果：
?? =54.19 + 0.061X1 + 1.98*X2 + 0.03X3 - 0.06X4 R2＝0.91 Yt: (1.41) (1.58) (3.81) (1.14) (-1.78)
根据tc(α=0.05,n-k-1=26)=2.056，只有X2的系数显著。
（2）理论上看，有效灌溉面积、农作物总播种面积是农业总产值的重要正向影响因素。在一定范围内，随着有效灌溉面积、播种面积的增加，农业总产值会相应增加。受灾面积与农业总产值呈反向关系，也应有一定的影响。而从模型看，这些因素都没显著影响。这是为什么呢？
这是因为变量有效灌溉面积、施肥量与播种面积间有较强的相关性，所以方程存在多重共线性。现在我们看看各解释变量间的相关性，相关系数矩阵如下：
X1 X2 X3 X4 1 0.896 0.880 0.715 X1 0.896 1 0.895 0.685 X2 0.880 0.895 1 0.883 X3 0.715 0.685 0.883 1 X4
表中r12＝0.896，r13＝0.895，说明施肥量与有效灌溉面积和播种面积间高度相关。 我们可以通过对变量X2的变换来消除多重共线性。令X22＝X2/X3（公斤/亩），这样就大大降低了施肥量与面积之间的相关性，用变量X22代替X2，对模型重新回归，结果如下：
? =－233.62 + 0.088X1 + 13.66*X2 + 0.096X3 - 0.099X4 R2＝0.91 Yt: (-3.10) (2.48) (3.91) (4.77) (-3.19)
从回归结果的t值可以看出，现在各个变量都已通过显著性检验，说明多重共线性问题基本得到解决。
第六章 动态经济模型：自回归模型和分布滞后模型
6.1（1）错。使用横截面数据的模型就不是动态模型。 （2）对。
（3）错。估计量既不是无偏的，又不是一致的。 （4）对。
（5）错。将产生一致估计量，但是在小样本情况下，得到的估计量是有偏的。 （6）对。
6.2 对于科克模型和适应预期模型，应用OLS法不仅得不到无偏估计量，而且也得不到一致估计量。
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但是，部分调整模型不同，用OLS法直接估计部分调整模型，将产生一致估计值，虽然估计值通常是有偏的（在小样本情况下）。
6.3 科克方法简单地假定解释变量的各滞后值的系数（有时称为权数）按几何级数递减，即：
Yt =α+βXt +βλXt-1 +βλ2Xt-2 +…+ ut 其中 0<λ<1。
这实际上是假设无限滞后分布，由于0<λ<1， X的逐次滞后值对Y的影响是逐渐递减的。
而阿尔蒙方法的基本假设是，如果Y依赖于X的现期值和若干期滞后值，则权数由一个多项式分布给出。由于这个原因，阿尔蒙滞后也称为多项式分布滞后。即在分布滞后模型
Yt????0Xt??1Xt?1??????mXt?m?ut中，假定：
?i?a0?a1i?a2i2?????apip其中p为多项式的阶数。也就是用一个p阶多项式来拟合分布滞后，该多项式曲线通过滞后分布的所有点。
6.4 （1）估计的Y值是非随机变量X1和X2的线性函数，与扰动项v无关。 （2）与利维顿方法相比，本方法造成多重共线性的风险要小一些。 6.5（1）
Mt??0??1(1??1)Yt??1?2(1??1)Yt?1??2(1??2)Rt??2?1(1??2)Rt?1
?(?1??2)Mt?1?(?1?2)Mt?2?[ut?(?1??2)ut?1?(?1?2)ut?2]其中?0是?、?1和?2的函数。（2） 第（1）问中得到的模型高度参数非线性，它的参数需采用非线性回归技术来估计。 6.6
?i??0??1i??2i2
?0?0??0?0
?4?0??0?4?1?16?2?0??1??4?2因此，变换模型为：
Yt?????iXt?i?ut????(?0??1i??2i2)Xt?i?ut????(?0??1i??2i2)Xt?i?uti?0i?04i?044
????2[?4?iXt?i??iXt?i]?ut用此式可估计出
2?2，即可得到??1??4??2，然后可得到诸?的估计值。 ?和?6.7 （1）设备利用对通货膨胀的短期影响是Xt的系数：0.141；从长期看，在忽略扰动项
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的情况下，如果Yt趋向于某一均衡水平Y,则Xt和Xt-1也将趋向于某一均衡水平X：
Y??30.12?0.141X?0.236XY??30.12?0.377X即
所以，设备利用对通货膨胀的长期影响是Xt和Xt－1的系数之和：0.377。 （2）对模型的回归参数的显著性检验：
原假设：H0: β1 =0 备择假设：H1: β1 ?0
从回归结果可知，检验统计量t?1?2.60
根据n-k-1=15,a=5%,查临界值表得tc＝2.131。 由于t＝2.60> tc＝2.131
故拒绝原假设，即Xt对y有显著影响。
原假设：H0: β2 =0 备择假设：H1: β2 ?0
从回归结果可知，检验统计量t?2?4.26
根据n-k-1=15,a=5%,查临界值表得tc＝2.131。 由于t＝4.26> tc＝2.131
故拒绝原假设，即Xt－1对y有显著影响。
综上所述，所有的斜率系数均显著异于0，即设备利用和滞后一期的设备利用对通货膨胀都有显著的影响。
（3）对此回归方程而言，检验两个斜率系数为零，等于检验回归方程的显著性，可用F检验。
原假设：H0: β1 =β2 =0 备择假设：H1:原假设不成立 检验统计量
R2K0.727/2F???19.973
(1?R2)(n?K?1)(1?0.727)/(18?2?1)根据k=2,n-k-1=15,a=5%,查临界值表得Fc＝3.68。 由于F＝19.973>Fc=3.68
故拒绝原假设，即Xt、Xt－1至少有一个变量对y有显著影响，表明方程总体是显著的。 6.8模型的滞后周期m=3,模型有6个参数,用二次多项式进行拟合,即p=2,得
?Wi?a0?a1i?a2i2我们有：
?W0?a0
?W1?a0?a1?a2?W2?a0?2a1?4a2?W3?a0?3a1?9a2代入原模型，得
3
Yt??? i?0??WX?U????(a?ai?ai3it?it2012)Xt?i?Ut 19
i?0
333 2???aX?aiX?aiXt?i?Ut0t?i1t?i2
i?0i?0i?0令：Z0t=∑Xt-i , Z1t=∑iXt-i , Z2t=∑i2Xt-i
显然，Z0t ,Z1t和Z2t可以从现有观测数据中得出，使得我们可用OLS法估计下式：
???
估计出α，α0,α1, α2的值之后，我们可以转换为 βWi的估计值,公式为：
Yt???a0Z0t?a1Z1t?a22Z2t?ut
?0?a?1i?a?2iY* = βXe (1) ?Wi?a6.9 tt+1
Yt-Yt-1 = δ(Yt* - Yt-1) + u t (2)
Xt+1e - Xte = (1-λ)( Xt - Xte)；t=1，2，…，n (3) 变换(3),得
Xt+1e = (1-λ)Xt +λXte (4)
因为Xt+1e无法表示成仅由可观测变量组成的表达式。但如果(4)式成立，则对于t期，它也成立，即：
Xte = (1-λ)Xt-1 +λXt-1e (5) (5)代入(4),得:
Xt+1e =(1-λ)Xt + (1-λ)λXt-1 +λ2Xt-1e (6) 我们可以用类似的方法，消掉（6）式中的Xt?1, 这一过程可无限重复下去，最后得到：
将(7)Xee?(1?λ)(Xt?λX?λ2X????)t?1t?1t?2(7)代入(1), 得：
(1')
变换(2)得:
Y*??(1?λ)(Xt?λX?λ2X????)t?1t?2tYt = δYt* - (1-δ)Yt-1 + u t (8)
将(1’)代入(8), 得:
Yt???(1??)(Xt??Xt?1取一期滞后，得：
??2X
t?2????)?(1??)Yt?1?ut(9)（9）式两端
(10)
Yt?1???(1??)(Xt?1??Xt?2(9)- λ(10),得:
??2Xt?3????)?(1??)Yt?2?ut?1Y??Yt?1???(1??)Xt?(1??)Y??(1??)Y?ut??ut?1tt?1t?2Y???(1??)Xt?(1????)Y??(1??)Y?ut??ut?1tt?1t?2(11)
整理得:
该式不能直接采用OLS法进行估计, 因为存在Yt-1、Yt-2等随机解释变量，它们与扰动项相关, 并且扰动项存在序列相关。若采用OLS法, 得到的估计量既不是无偏的, 也不是一致的。可采用工具变量法或极大似然法进行估计。
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