2011—2018年高考全国卷文科数学三角函数、解三角形汇编

【2016,6】若将函数y?2sin?2x???1π?的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为( ). ?46?A.y?2sin?2x???π?π?π?π????y?2sin2x?y?2sin2x?y?2sin2x? B. C. D.???????

4?3?3?4??????1ππ?的图像向右平移个周期,即向右平移个单位, ?446?解析:选D.将函数y?2sin?2x?故所得图像对应的函数为y?2sin?2?x?????π?π?π???2sin2x????.故选D. ??3?4?6??【2015,8】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( ) A.(k??C.(k?1313,k??),k?Z B.(2k??,2k??),k?Z 44441313,k?),k?Z D.(2k?,2k?),k?Z 444414解:选D.依图,?+?????53?且?+??,解得ω=π,?=, ?f(x)?cos(?x?),

4424213?x?2k?,故选D. 44由2k???x??4?2k???,,解得2k?【2014,7】在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y?cos(2x??6),④y?tan(2x??4)中,最小正周期为

π的所有函数为( )

A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③

解:选A.由y?cosx是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②y=|cosx|的最小正周期也是π;③中函数最小正周期也是π;正确答案为①②③,故选A

【2014,2】若tan??0,则( )

A. sin??0 B. cos??0 C. sin2??0 D. cos2??0

解:选C.tanα>0,α在一或三象限,所以sinα与cosα同号,故选C

【2013,10】已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ).

A.10 B.9 C.8 D.5

解析:选D.由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=

11?π?

.∵A∈?0,?,∴cos A=.

525?2?

36?b2?4913∵cos A=,∴b=5或b??(舍).

52?6b?5?【2012,9】9.已知??0,0????,直线x?和x?是函数f(x)?sin(?x??)图像的两条相

44邻的对称轴,则??( )

???3?A. B. C. D.

4432【解析】选A.由直线x?

5?是函数f(x)?sin(?x??)图像的两条相邻的对称轴,

445???)?2?,从而??1. 得f(x)?sin(?x??)的最小正周期T?2(44和x?由此f(x)?sin(x??),由已知x?所以sin(??4处f(x)?sin(x??)取得最值,

?4??)??1,结合选项,知???,故选择A. 4【2011,7】已知角?的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y?2x上,则cos2??( ).

A.?4334 B.? C. D. 5555t. 5t【解析】设P(t,2t)(t?0)为角?终边上任意一点,则cos??当t?0时,cos??55;当t?0时,cos???.

5523?1??.故选B. 552因此cos2??2cos??1?

【2011,11】设函数f(x)?sin?2x???π?π???cos2x????,则 ( ) 4?4??A.f(x)在?0,??ππ?x?单调递增,其图象关于直线对称 ?42?ππ?x?单调递增,其图象关于直线对称 ?22?ππ?x?单调递减,其图象关于直线对称 ?42?ππ?x?单调递减,其图象关于直线对称 ?22?B.f(x)在?0,????C.f(x)在?0,D.f(x)在?0,??【解析】因为f(x)?sin?2x???π?π?ππ????cos2x??2sin2x????2cos2x, ????4?4?44???当0?x?π?π?

时,0?2x?π,故f(x)?2cosx在?0,?单调递减. 2?2?

又当x?πππ??时,2cos?2????2,因此x?是y?f(x)的一条对称轴.故选D. 222??

二、填空题

b,c,已知bsinC?csinB?4asinBsiCn,【2018,16】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b2?c2?a2?8,则△ABC的面积为________.23 3【2017,15】已知???0,??????tan??2,,则cos??????________. 24????【解析】310sin?????2?sin??2cos?,又sin2??cos2??1,解.????0,?,tan??2?cos?10?2?得sin????2310255?,cos??,?cos?????. (cos??sin?)?554?210?y25???tan??2,,角的终边过,故,P(1,2)sin??????r52??【基本解法2】Q???0,cos????2310x5?22,其中r?x?y?5,?cos?????. ?(cos??sin?)?r54?210???π?3π???tan??,则???? . 4?54??【2016,】14.已知?是第四象限角,且sin???解析:?4??3??????????.由题意sin?????sin????????cos?????. 34?54?4?2?????因为2k???????7????2k??2??k?Z?,所以2k??????2k???k?Z?, 24444??4??4????tan????,因此.故填. ???34?34?5?从而sin?????方法2:还可利用tan?????π??π?tan??来进行处理,或者直接进行推演,即由题意?????14??4?14????4??3?????. cos?????,故tan?????,所以tan????????3?4?54?44????tan????4??【2013,16】设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=______.

答案:

25255. ∵f(x)=sin x-2cos x=5sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=. 555πππ当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取最大值.即θ-φ=2kπ+(k∈Z),θ=2kπ++φ(k∈Z).

222解析:?∴cos θ=cos?25?π?. ???=-sin φ=?52??【2014,16】16.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角?MAN?60?,C点的仰角?CAB?45?以及 ?MAC?75?;从C点测得?MCA?60?.

已知山高BC?100m,则山高MN? m.

解:在RtΔABC中,由条件可得AC?1002,

在ΔMAC中,∠MAC=45°;由正弦定理可得中,MN=AMsin60°=150.

AMAC3?,故AM?AC?1003,在直角RtΔMANsin60?sin45?2【2011,15】△ABC中,B?120?,AC?7,AB?5,则△ABC的面积为 .

222?【解析】由余弦定理知AC?AB?BC?2AB?BCcos120,

2即49?25?BC?5BC,解得BC?3.

故S△ABC?113153153.故答案为. AB?BCsin120???5?3??22244

三、解答题

2【2015,17】已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sinB?2sinAsinC.

?(1)若a?b,求cosB;(2)设?B?90,且a?2,求△ABC的面积.

解析:(1)由正弦定理得,b?2ac.又a?b,

2?a?a??a2??222a?c?b12?2?所以a?2ac,即a?2c.则cosB???.

a2ac42a?222?(2)解法一:因为?B?90,所以sinB?1?2sinAsinC?2sinAsin90?A,

2???即2sinAcosA?1,亦即sin2A?1.

又因为在△ABC中,?B?90,所以0??A?90, 则2?A?90,得?A?45.

所以△ABC为等腰直角三角形,得a?c?2,所以S△ABC?解法二:由(1)可知b?2ac,①

2????1?2?2?1. 2因为?B?90,所以a2?c2?b2,②

将②代入①得?a?c??0,则a?c?2,所以S△ABC?解:(Ⅰ) 因为sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得b2=2ac.

2?1?2?2?1. 2a2+c2-b21=. 又a=b,可得a=2c, b=2c,由余弦定理可得cosB=2ac4(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=2ac. 因为B=90°,所以a2+c2=b2=2ac. 解得a=c=2. 所以ΔABC的面积为1.

【2012,17】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c?3asinC?ccosA.

(1)求A;

(2)若a?2,△ABC的面积为3,求b,c. 【解析】(1)根据正弦定理

ac??2R,得a?2RsinA, c?2RsinC, sinAsinC因为c?3asinC?ccosA,

所以2RsinC?3(2RsinA)sinC?2RsinC?cosA, 化简得3sinAsinC?cosAsinC?sinC, 因为sinC?0,所以3sinA?cosA?1,即sin(A?而0?A??,??6)?1, 2?6?A??6?5????,从而A??,解得A?. 6663(2)若a?2,△ABC的面积为3,又由(1)得A??3,

??1bcsin?3??bc?4?23则?,化简得?2, 2?b?c?8??b2?c2?2bccos?a2?4?3?从而解得b?2,c?2.

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