第6章 真空中的静电场 习题及答案
1. 电荷为?q和?2q的两个点电荷分别置于x?1m和x??1m处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷q0位于点电荷?q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以
2qq0qq0?
4π?0(x?1)24π?0(x?1)2故 x?3?22
2. 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解：(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q?为负电荷，所以
1q212cos30??4π?0a24π?0qq?(32a)3
故 q???3q 3(2)与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为R、电荷线密度为?1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为
l、电荷线密度为?2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的
电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dq??1dl，dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为
dE?dq
4??0(x2?R2) R O 3y ?1 ?2 l 根据电荷分布的对称性知，Ey?Ez?0
dEx?dEcos? ?12xdq224??0(x?R)
z
x
式中：?为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。
Ex?x4??0(x?R)2232?dq
?x?1?2?R4??0(x2?R2)32??1Rx
2?0(x2?R2)32下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dq??2dx，dq受到的电场力大小为
dF?Exdq??1?2Rxdx 3222?0(x?R)2方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
F??dF??1?2Rlxdx 3?0222?0(x?R)2??1?2R?1? 1?2?0?R?l2?R2?1/2???方向沿x轴正方向。
4. 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?。求：
（1）圆心处O点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。
解：（1）在半圆环上取dq??dl??Rd?，它在O点产生场强大小为
dE?dq??d? ，方向沿半径向外
4π?0R24π?0R根据电荷分布的对称性知，Ey?0
dEx?dEsin???sin?d?
4π?0REx??故 E?Ex??0??sin?d??
4π?0R2π?0R?，方向沿x轴正向。
2π?0R（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq??dx?强大小为
qdx，dq在P点产生的场LdE?dq?dx?，方向沿x轴负方向。 224??0x4??0x d?Ld故 P点场强大小为 EP?dE????dx
4??0x2 q L P d x O
?q
4??0d?d?L?方向沿x轴负方向。
6. 一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度为?，求球心处电场强度的大小。 解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。
在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量dq???dS???2?rdl???2?Rsin?d?，
2dq在O点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上
的场强公式）
x r dE?xdq4??0(x?r)xdq2232 ，方向沿x轴负方向
O R dl 利用几何关系，x?Rcos?，r?Rsin?统一积分变量，得
dE?4??0(x2?r2)3
2?Rcos?2??2?Rsin?d? 34??0R1??sin?cos?d? 2?0因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为小为
x轴负方向，所以球心处电场强度的大
?E??dE?2?0??/20sin?cos?d??? 4?0方向沿x轴负方向。
7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为?，如图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。 若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为?????的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为
E1?σ，方向沿x轴正方向 2?0半径为R、电荷面密度?????的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）
E2?故
?x(1?)，方向沿x轴负方向
222?0R?x R O ??x P点的场强大小为
E?E1?E2??P x ?x2?0R?x22
方向沿x轴正方向。
8. (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
解：（1）由高斯定理E?dS?s???q?0求解。立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面
上电通量相等，所以通过各面电通量为
?e?q 6?0（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则通过边长2a的正方形各面的电通量?e?q 6?0q，如果它包含q所24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?在顶点，则?e?0。
9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为
?1和?2，试求空间各处场强。
解：如图所示，电荷面密度为?1的平面产生的场强大小为
E??1，方向垂直于该平面指向外侧 2?0电荷面密度为?2的平面产生的场强大小为
E?由场强叠加原理得
?2，方向垂直于该平面指向外侧 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向左 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?0两面之间，E?E1?E2??1面左侧，E?E1?E2??2面右侧，E?E1?E2?10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1和R2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为?（??0）。试求各区域的电场强度分布。
解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理
??1?E?dS?S?0?qi得
E?4?r?21?0?qi
当r?R1时，?qi?0，所以 E?0 当R1?r?R2时，?qi??(?r3??R13)，所以
4343?(r3?R13) E? 23?0r当r?R2时，?qi??(?R23??R13)，所以
4343