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3.1.1 椭圆及其标准方程
[基础达标]
1.椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是( ) A．(±2，0) C．(±23，0)
B．(0，±2) D．(0，±23)
解析：选B.椭圆标准方程为＋＝1，
48∴椭圆焦点在y轴上，且c＝8－4＝4， ∴焦点坐标为(0，±2)．
2
x2y2
y2
2.椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m的值为( )
25mA．－16 C．16
B．－4 D．4
x2
解析：选C.焦点在x轴且c＝3，由25＝m＋9，∴m＝16. 3.已知方程
x2
k＋13－k＋y2
＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( )
B．1 A．k<1或k>3 C．k>1 解析：选B.由题意知k＋1>3－k>0，∴1 4.过点(－3，2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( ) 94A.C. ＋＝1 1510＋＝1 1015 2 x2y2 x2x2 y2y2 B．＋＝1 225100D．＋＝1 100225 x2x2 y2y2 y29 解析：选A.c＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为2＋2＝1，代入(－3，2)得2b＋5bb＋5 ＋2＝1，∴b＝10，椭圆方程为＋＝1. b1510 5.如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐 2594 2 x2 x2y2 x2y2 标原点)的值为( ) A．8 B．2 1 ……………………………………………………………最新教学推荐………………………………………………… C．4 3D． 2 12 解析：选C.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8，由于N为 MF1的中点，ON为中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4. 6.已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________． 解析：由题意得：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|＝2， ∴动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1， ∴b＝a－c＝3，轨迹方程为＋＝1. 43答案：＋＝1 43 7.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A| 259＋|F2B|＝12，则|AB|＝________． 解析：由于|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝20，∴|AB|＝20－(|F2A|＋|F2B|)＝20－12＝8. 答案：8 8.若方程 2 2 2 x2y2 x2y2 x2y2 x2 k－25－kx2 ＋＋ y2 ＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________． 解析：由方程 y2 k－25－k＝1表示椭圆， k－2>0，?? 可得?5－k>0， ??k－2≠5－k， 7解得2 277 即当2 22方程 x2 k－25－k＋y2 ＝1表示椭圆． 77 答案：(2，)∪(，5) 22 9.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，(1)PF1⊥PF2，且|PF1|>|PF2|， 94|PF1|求的值． |PF2| (2)当∠F1PF2为钝角时，|PF2|的取值范围． 解：(1)∵PF1⊥PF2，∴∠F1PF2为直角，则|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. ??20＝|PF1|＋|PF2|，∴? ?|PF|＋|PF|＝6，12? 2 2 2 2 2 x2y2 2 ……………………………………………………………最新教学推荐………………………………………………… 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴ |PF1| ＝2. |PF2| (2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝6. ∵∠F1PF2为钝角，∴cos∠F1PF2<0. 2 r21＋r2－2022 又∵cos∠F1PF2＝<0，∴r1＋r2<20，∴r1r2>8，∴(6－r2)r2>8， 2r1r2 ∴2 即|PF2|的取值范围是(2，4)． 10.(1)等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为42，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，求该椭圆的标准方程． (2)在△ABC中， ∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且|BC|＝2，求满足b，a， c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹． x2y2 解：(1)如图，设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，有|AM|＋|AC|＝2a， ab|BM|＋|BC|＝2a， 两式相加，得8＋42＝4a， ∴a＝2＋2，|AM|＝2a－|AC|＝4＋22－4＝22. 在直角三角形AMC中，∵|MC|＝|AM|＋|AC|＝8＋16＝24， ∴c＝6，b＝42. 故所求椭圆的标准方程为 ＋＝1. 6＋4242 2 2 2 2 2 x2y2 (2)由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2. 以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示． x2y2222 设顶点A所在的椭圆方程为2＋2＝1(m>n>0)，则m＝2，n＝2－1＝3，从而椭圆方程 mn为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0. 43 故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分(x>0，y≠0)． 43 [能力提升] 1.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与→→→→ 点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则P点的轨迹方程是( ) 322 A.x＋3y＝1(x>0，y>0) 2322 B.x－3y＝1(x>0，y>0) 2 x2y2 x2y2 3