函数、方程和不等式的关系
很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上，他们之间的联系非常紧密。如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：y?ax?b(a?0)，这是一个一次函数，图像是一条直线。对于这个函数而言，x是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令y?0，上面的解析式也就变成了ax?b?0，也就是一个一元一次方程了。我们知道，一般在求一个函数图像与x轴交点的时候，令y?0（同理求一个函数图像与y轴交点的时候，令x?0）。所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y变为0，那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x轴交点的横坐标。这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。举例说明如下：
例如函数y?2x?3的图像如右所示： 该函数与x轴的交点坐标为(,0)，也就是在函数 解析式y?2x?3中，令y?0即可。令y?0也 就意味着将一元一次函数y?2x?3变成了一元 一次方程2x?3?0，其解和一次函数与x轴的交 点的横坐标是相同的。接下来推广到二次函数：
例如函数y?2x?5x?2的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x轴的交点的横坐标 正是方程2x?5x?2?0的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。 在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？
2函数y?2x?5x?2对应的方程是2x?5x?2?0，先求出这个方程的两个解。很容
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2
21和2。这样，根据函数21解析式与方程之间的关系，也就得出了函数y?2x2?5x?2与x轴的两个交点(,0)和
2易根据十字相乘法(2x?1)(x?2)?0得出该方程的两个解分别为
(2,0)。有了与横坐标两个交点的坐标，还知道了开口方向（二次项前面的系数2?0，所
以开口向上），则该二次函数的大致图像就容易作出了。
以上的结论可不可以进一步推广呢？
先看接下来这个函数解析式y?(x?1)(x?2)(x?3)，如果作这样一个三次函数（三次或三次以上就叫高次函数）的图像，用列表、描点、连线的方法是非常复杂的，甚至无法作出。如果我们采用上面的思想，先求出y?(x?1)(x?2)(x?3)对应的方程
?2、-3。知道了三个根(x?1)(x?2)(x?3)?0的根，很容易得出该方程的三个根：?1、还不行，还必须知道开口方向，由于三次函数和二次函数不同，所以不可能通过三次项系数
的正负来确定开口方向。在实际中，我们可以发现这样的规律：如果三次项系数是正数、最右边一个交点的右边部分图像是在x轴上面的。如果三次项系数是负数，最右边一个交点的右边部分图像是在x轴下面的。那么函数y?(x?1)(x?2)(x?3)的大致图像如下：
函数y??(x?1)(x?2)(x?3)的大致图像如下：
通过以上函数图象：我们可以总结出作高次函数大致图像的步骤：
（1） 求出高次函数所对应的方程的根，并在数轴上（不需要建立坐标系）从小到大依次
表示出来。
（2） 如果最高次项的系数是正数，则按照从右到左，从上到下依次穿过。如果最高次数
的系数是负数，则按照从右到左，从下到上依次穿过。
★ 函数与不等式之间的关系
函数解析式：y?ax?b(a?0)中，如果变为ax?b?0（?的情况类似）或ax?b?0（?的情况类似），那么就是不等式了。实际上，以上两个不等式分别对应一次函数
y?ax?b(a?0)的图像在x轴上方和x下方的情况。而不等式ax?b?0和ax?b?0的
解分别是一次函数y?ax?b(a?0)的图像上方部分对应的自变量x的范围和下方部分对应的自变量x的范围。
例如不等式2x?3?0所对应的是一次函数
y?2x?3在x轴上方部分的图像。该不等
式的解为y?2x?3在x轴上方部分的图像 所对应的自变量x的范围，即x?3。 2在二次函数中，这种不等式和函数的对应 关系同样适用。例如：y?2x2?5x?2 的图像如右图所示：
不等式2x?5x?2?0的解为二次函数
2y?2x2?5x?2图像上在x轴上方的部分，
不等式的解为：x?1或x?2。同理 212x2?5x?2?0的解为?x?2。这也
2就是二次不等式“二次项的系数大于零， 后面是大于号的取两边（即小于最小根， 大于最大根），后面是小于号的取中间（大于最小根，小于最大根）”的性质。对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数。
从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式f(x)?0对应的是函数f(x)图像上在x轴上方的部分，不等式f(x)?0的解就是函数f(x)图像上在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围。不等式f(x)?0对应的是函数f(x)图像上在x轴下方的部分，不等式f(x)?0的解就是函数f(x)图像上在x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围。