∴∴∴∴====， ， ． ， 点评： 本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中． 2. （2014?四川巴中，第24题7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即过程，直接写出结果）．
：
= 1：4 （不写解答
考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比．
分析： （1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案． 解答：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2， ∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1：2， ∴
：
=1：4．故答案为：1：4．
点评： 此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键． 3. （2014?四川巴中，第29题10分）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA； （2）求证：直线MN是⊙O的切线．
考点：相似三角形的判定，切线的性质．
分析：（1）根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90°，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△BGD∽△DMA；
（2）连结OD．由三角形中位线的性质得出OD∥AC，根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥BG，由平行公理推论得到OD∥BG，再由BG⊥MN，可得OD⊥MN，然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是⊙O的切线． 解答：证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G， ∴∠BGD=∠DMA=90°．
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°， ∴∠ADM+∠CDM=90°，
∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG， ∴∠DBG=∠ADM． 在△BGD与△DMA中，
（2）连结OD．∵BO=OA，BD=DC，
，∴△BGD∽△DMA；
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，BG⊥MN， ∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN， ∴直线MN是⊙O的切线．
点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
4. （2014?山东潍坊，第22题12分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． (1)求证：AE⊥BF；
(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形． 分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由BE=CF，即可证得△ABE≌△BCF,可得∠BAE=∠CBF，由∠ABF+∠CBF=90可得∠ABF+∠BAE=90，即AE⊥BF； （2）由△BCF≌△BPF, 可得CF=PF,BC=BP,∠BFE=∠BFP，由CD∥AB得∠BFC=∠ABF,从而
0
0
QB=QF，设PF为x,则BP为2x,在Rt△QBF中可求 QB为
（3）由
5x，即可求得答案； 2?AGNAN2?()可求出△AGN的面积，进一步可求出四边形GHMN的面积．
?AHMAM0
0
解答：(1)证明：∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，∴CF=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF ∴∠BAE=∠CBF 又∵∠BAE+∠BEA=90，∴∠CBF+∠BEA=90， ∴∠BGE=90， ∴AE⊥BF
(2)根据题意得：FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90， ∵CD∥AB, ∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB 令PF=k（k>O），则PB=2k，
0
0
在Rt△BPQ中，设QB=x， ∴x=(x－k)+4k, ∴x=
222
5BP2k4k，∴sin∠BQP=?? 2QP5k52(3)由题意得：∠BAE=∠EAM,又AE⊥BF, ∴AN=AB=2, ∵ ∠AHM=90, ∴GN//HM, ∴
0
?AGN24?AGNAN2?()2? ?() ∴
15?AHMAM544= 55∴ 四边形GHMN=SΔAHM － SΔAGN=1一答：四边形GHMN的面积是4.
5点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
5. （2014?山东烟台，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα?tan=．
考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数. 分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=
，
，BD∥AC， ==．
，
=，最后得到tanα?tan=．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴∵PB=0B=OA，∴
=，∴tana?tan=
?
=
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα?tan=．
0
6.（( 2014年河南) 20.9分）如图，在直角梯形OABC中，BC//AO，∠AOC=90，点A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D为AB上一点，且BD=2AD.双曲线y=
k（x＞0）经过点D,x