直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略
本文通过几个经典的例题说明线与圆锥曲线综合题的合理消参策略.
x22例题1 已知椭圆C:?y?1，过A(0,1)且斜率为k的直线交椭圆C于A、B，M在椭
4圆上，且满足OM?OA?123OB.求k的值. 2解法1:
直接求解法，适合于消参后的一元二次方程的根比较好解的情况，注意利用乘法公式化简 过A(0,1)且斜率为k的直线为y?kx?1，代入椭圆方程中，消去y并整理得:
8k，注意到A(0,1)，
1?4k28k8k28k1?4k2,??1)，即B(?,). 可得B(?1?4k21?4k21?4k21?4k2(1?4k2)x2?8k?0，解得x1?0，x2??138k1?4k2(?,)， 设M(x,y)，则(x,y)=(0,1)?221?4k21?4k243k1?3?4(1?3)k2∴x??，y?，
2(1?4k2)1?4k2143k21?3?4(1?3)k22x22)?()?1， ?y?1，∴(?又∵2241?4k2(1?4k)422222去分母得: 48k?[1?3?4(1?3)k]?4(1?4k)，
4展开整理得: k?11，∴k??. 162解法2: 利用一元二次的方程的根与系数关系，注意利用整体代入.
过A(0,1)且斜率为k的直线为y?kx?1，代入椭圆方程中，消去y并整理得:
(1?4k2)x2?8k?0，
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，则(x,y)?(x1,y1)?123(x2,y2)， 21313x2x2，y?y1?y2，又∵?y2?1， ∴x?x1?22224∴(x1?114232132x2)?(y1?y2)?1， 222314433x1x2?y1y2?1， 821
2222整理得: (x1?y1)?(x2?y2)?1144
注意到
3312122x1x2?y1y2?0，即x1x2?4y1y2?0. x1?y12?x2?y2?1，于是上式化为8244又x1x2?0，x1?x2??8k， 21?4k∴y1y2?(kx1?1)(kx2?1)?k2x1x2?k(x1?x2)?1?k(x1?x2)?1， ∴k(?18k12k?)?1?0k??，∴，∴.
41?4k22解法3:
转化结论，间接求解，就是求出直线上两个点的坐标即可，一般不用此法，但对于本题，却是非常简单，就是充分利用题目的特殊性.
设B(x,y)，又A(0,1)，于是OM?OA?12313OB，即OM?(0,1)?(x,y)， 222313313x2x,?y)，又B(x,y)，M(x,?y)在椭圆C:?y2?1上，于是 ∴M(2222224
??x2x233232?y?1,??y?(1),????44444即? ?131313333?(x)2?(?y)2?1,??x2?y2?y?(2),??22?42424?44(1)?(2)消去x2、y2得: y?0，
∴x??2.即B(?2,0)，又A(0,1)， ∴k??．
12x2y2 例题2 双曲线C与椭圆??1有相同的焦点，直线y?3x为C的一条渐近线.
84(1)求双曲线C的方程.
(2)过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.
当PQ??1QA??2QB，且?1??2??时，求Q点的坐标.
83x2y2解:(1)设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0).
abb由题意: a2?b2?8?4?4，?3，∴a?1，b?3.
ay22∴双曲线C的方程为x??1.
3
2
(2) 解法一：构造关于参数的一元二次方程 由题意知直线l的斜率k存在且不为零.
设直线l的方程为:y?kx?4，则可求Q(?,0). 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵PQ??1QA， PQ?(?,