高中数学人教A版选修2-1第三章《3.1.1 空间向量及其加减运算》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能
(1)空间向量概念、模的概念; (2)零向量、单位向量、相等向量; (3) 空间向量的加减及运算律。 2.过程与方法
(1)理解空间向量的概念,掌握其表示方法;
(2)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; (3)能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。 3.情感、态度与价值观
学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看待事物。
2学情分析
学生已将掌握平面向量的相关概念,加减运算及其运算律,空间向量是平面向量的延伸,学生可以通过类比思想学习本节内容。
3重点难点
空间向量的概念、分类及加减运算.
4教学过程
活动1【讲授】空间向量及其加减运算 活动一:创设情景、引入课题
问题1:在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向量的一些知识,什么叫做向量?向量是怎样表示的呢?
答:既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有: ①用有向线段表示;②用字母a、b等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: .
问题2:说说:零向量、单位向量、相等向量、相反向量的概念,请同学们回忆一下. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 问题3:说说平面向量的加减以及数乘向量运算:
⒈向量的加法: ⒉向量的减法:
⒊实数与向量的积:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,其长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|
(2)当λ>0时,λa与a同向;当λ<0时,λa与a反向; 当λ=0时,λa=0.
问题4:关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢? 向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb
问题5:今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上,类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行一些简单的应用.请同学们阅读课本P84~P85. 点题:今天我们学习“空间向量及其运算” 活动二:师生交流、进入新知 一、空间向量
1、定义:把空间中具有大小和方向的量
2、表示:用有向线段表示为向量a、向量b、向量AB 3、分类:零向量:长度为0的向量,表示 =0 单位向量:模长为1的向量,表示 = =1
相等向量:大小相等方向相同的向量;相反向量:大小相等方向相反的向量。 问题6:空间中任意两个向量会共面?
因为向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的.
问题7:空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢? 4、空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样: =a+b,
(指向被减向量), λa
练习:书本P86:2
问题8:空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?请大家验证这些运算律. 5、空间向量加法与数乘向量有如下运算律: ⑴加法交换律:a + b = b + a;
⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);(课件验证) ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb. 注意以下几点: 平面向量中有
以及 ,在空间向量中有此结论吗?
在平面向量中,求 的和向量时,可通过在平面内任找一点O,作 (如图),然后构造以OA,OB为邻边的平行四边形OACB,从而得到与 有公共点的四边形OACB的对角线OC,使得 。类比此法,空间向量中,三个不共面的向量的和与这三个向量的关系是什么?
结论:两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.
因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则. 活动三:合作学习、探究新知
例1:已知平行六面体 (如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
说明:平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记作ABCD—A’B’C’D’.
平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱. 解:⑴ ; ⑵ = ;
⑶设M是线段 的中点,则 ;