(完整)北师大七年级上学期数学《绝对值》典型例题

《绝对值》典型例题

例1

求下列各数的绝对值,并把它们用“>”连起来.

71?,?,0,-1.2 89分析 首先可根据绝对值的意义,即正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0来求出各数的绝对值.在比较大小时可以根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”比较出?解 ?7711?,??,0?0,?1.2?1.2. 88997其他数的比较就容易了. ??1.2,

8?17?0????1.2. 98说明: 利用绝对值只是比较两个负数. 例2

求下列各数的绝对值:

(1)-38;(2)0.15;(3)a(a?0);(4)3b(b?0); (5)a?2(a?2);(6)a?b.

分析:欲求一个数的绝对值,关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数,然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号,(6)题没有给出a与b的大小关系,所以要进行分类讨论.

解:(1)|-38|=38;(2)|+0.15|=0.15; (3)∵a<0,∴|a|=-a; (4)∵b>0,∴3b>0,|3b|=3b;

(5)∵a<2,∴a-2<0,|a-2|=-(a-2)=2-a;

?a?b(a?b);? (6)a?b??0(a?b);

?b?a(a?b).? 说明:分类讨论是数学中的重要思想方法之一,当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时,要化去绝对值符号,一般都要进行分类讨论.

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例3

一个数的绝对值是6,求这个数.

分析 根据绝对值的意义我们可以知道,绝对值是6的数应该是?6. 说明:互为相反数的两个数的绝对值相等.

例4 计算下列各式的值

(1)?35??21??27;(2)?3441???3; 552(3)?49??211;(4)?0.75??1. 72分析 这些题中都带有绝对值符号,我们应先计算绝对值再进行其他计算. 解 (1)?35??21??27?35?21?27?83; (2)?34414411???3?3??3?6; 552552211?49?2?105; 7711?0.75?1?0.5. 22(3)?49??2(4)?0.75??1说明:在去掉绝对值之后,要注意能简算的要简算,如(2)题. 例5 已知数a的绝对值大于a,则在数轴上表示数a的点应在原点的哪侧?

分析 确定表示a的点在原点的哪侧,其关键是确定a是正数还是负数.由于负数的绝对值是它的相反数正数,所以可确定a是负数.

解 由于负数的绝对值是它的相反数,所以负数的绝对值大于这个负数;又因为0和正数的绝对值都是它本身,所以a是负数,故表示数a的点应在原点的左侧.

说明:只有负数小于其本身的绝对值,而0和正数都等于自己的绝对值. 例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”,错误入“F”): (1)?a?a;( ) (2)?a??a;( )

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(3)

aa?a( ) (a?0);

a(4)若|a|=|b|,则a=b;( ) (5)若a=b,则|a|=|b|;( )

分析:判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义,所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性.判数(或证明)一个结论是错误的,只要能举出反例即可.如第(2)小题中取a=1,则-|a|=-|1|=-1,而|-a|=|-1|=1,所以-|a|≠|-a|.在第(4)小题中取a=5,b=-5等,都可以充分说明结论是错误的.要证明一个结论正确,须写出证明过程.如第(3)小题是正确的.证明步骤如下:

当a?0时,

aaa?aaa?1,而??1,?aaaaa?a成立; aaa?a也成立. a?aaa??1,而???1,?当a?0时,?a?aaa这说明a?0时,总有成立.此题证明的依据是利用的定义,化去绝对值符号即可.

解:其中第(2)、(4)、小题不正确,(1)、(3)、(5)小题是正确的.

说明:判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程,只是在证明时需要写明道理和依据,步骤都要较为严格、规范.而判断一个结论是错误的,可依据概念、性质等知识,用推理的方法来否定这个结论,也可以用举反例的方法,后者有时更为简便.

例7 若2x?1?y?5?0,则2x?y等于( ).

分析与解:“任意有理数的绝对值一定为非负数.”利用这一特点可得而两个非负数之和为0,只有一种可能:两非负数均为0.则2x?1?0;y?5?0.

1?1?2x?1?0,x??;y?5?0,y?5.故2x?y?2?????5?4.

2?2? 说明:任意有理数的绝对值一定为非负数,因为它表示的是一个数在数轴上

的对应点到原点的距离.绝对值的这个特性今后会经常用到.几个非负数的和为0,则每一个非负数都是0.

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