复合材料力学讲义

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复合材料力学讲义

第一部分 简单层板宏观力学性能 1.1 各向异性材料的应力—应变关系

应力—应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为:

(1—1)

其中σi为应力分量,Cij为刚度矩阵εj为应变分量.对于应力和应变张量对称的情形(即不存在体积力的情况),上述简写符号和常用的三维应力—应变张量符号的对照列于表1—1。

按表1—l,用简写符号表示的应变定义为:

表1—1 应力——应变的张量符号与简写符号的对照

注:γij(i≠j)代表工程剪应变,而εij(i≠j)代表张量剪应变

(1—2)

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其中u,v,w是在x,y,z方向的位移。

在方程(1—2)中,刚度矩阵Cij有30个常数.但是当考虑应变能时可以证明弹性材料的实际独立常数是少于36个的.存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料当应力σi作用于应变dεj时,单位体积的功的增量为:

由应力—应变关系式(1—1),功的增量为:

沿整个应变积分,单位体积的功为:

虎克定律关系式(1—1)可由方程(1—5)导出:

于是

同样

因W的微分与次序无,所以:

这样刚度矩阵是对称的且只有21个常数是独立的。用同样的方法我们可以证明:

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1—3)

(1—4)

(1—5)

(1—6)

(1—7)

(1—8)

(1—9)

(1—10)

( ______________________________________________________________________________________________________________

其中Sij是柔度矩阵,可由反演应力—变关系式来确定应变应力关系式为

(1—11)

同理

(1—12)

即柔度矩阵是对称的,也只有21个独立常数.刚度和柔度分量可认为是弹性常数。

在线性弹性范围内,应力—应变关系的一般表达式为:

(1—13)

实际上,关系式(1—13)是表征各向异性材料的,因为材料性能没有对称平面.这种各向异性材料的别名是全不对称材料.比各向异性材料有更多的性能对称性的材料将在下面几段中叙述.各种材料性能对称的应力—应变关系式的证明由蔡(Tais)等给出。

如果材料有一个性能对称平面应力—应变关系式可简化为

(1—14)

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