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复合材料力学讲义
第一部分 简单层板宏观力学性能 1.1 各向异性材料的应力—应变关系
应力—应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为：
（1—1）
其中σi为应力分量，Cij为刚度矩阵εj为应变分量．对于应力和应变张量对称的情形(即不存在体积力的情况)，上述简写符号和常用的三维应力—应变张量符号的对照列于表1—1。
按表1—l，用简写符号表示的应变定义为：
表1—1 应力——应变的张量符号与简写符号的对照
注：γij（i≠j）代表工程剪应变，而εij（i≠j）代表张量剪应变
（1—2）
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其中u，v，w是在x，y，z方向的位移。
在方程(1—2)中，刚度矩阵Cij有30个常数．但是当考虑应变能时可以证明弹性材料的实际独立常数是少于36个的．存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料当应力σi作用于应变dεj时，单位体积的功的增量为：
由应力—应变关系式(1—1)，功的增量为：
沿整个应变积分，单位体积的功为：
虎克定律关系式(1—1)可由方程(1—5)导出：
于是
同样
因W的微分与次序无，所以：
这样刚度矩阵是对称的且只有21个常数是独立的。用同样的方法我们可以证明：
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1—3）
（1—4）
（1—5）
（1—6）
（1—7）
（1—8）
（1—9）
（1—10）
（ ______________________________________________________________________________________________________________
其中Sij是柔度矩阵，可由反演应力—变关系式来确定应变应力关系式为
（1—11）
同理
（1—12）
即柔度矩阵是对称的，也只有21个独立常数．刚度和柔度分量可认为是弹性常数。
在线性弹性范围内，应力—应变关系的一般表达式为：
（1—13）
实际上，关系式(1—13)是表征各向异性材料的，因为材料性能没有对称平面．这种各向异性材料的别名是全不对称材料．比各向异性材料有更多的性能对称性的材料将在下面几段中叙述．各种材料性能对称的应力—应变关系式的证明由蔡（Tais）等给出。
如果材料有一个性能对称平面应力—应变关系式可简化为
（1—14）
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